Achsensymmetrie rechnerisch nachweisen?
Das ist die Aufgabe. Ich habe es nicht verstanden wie ich sie lösen kann. Kann mir da jemand helfen?
A: Weise rechnerisch nach, dass die Funktion g (x) = 2x² + 8x + 5 achsensymetrisch zur Achse x = -2 ist.
5 Antworten
Die Funktion ist dann symetrisch zur Geraden x = -2 wenn gilt:
g(-2 + x) = g(-2 - x)
Nun setzen wir beide Terme in g(x) ein und überprüfen, ob dabei eine wahre Aussage rauskommt:
(-2 + x) eingesetzt:
g(-2 + x) = 2(-2 + x)² + 8(-2 + x) + 5 (1)
(-2 - x) eingesetzt:
g(-2 - x) = 2(-2 - x)² + 8(-2 - x) + 5 (2)
gemäß obiger Bedingung solll also gelten:
2(-2 + x)² + 8(-2 + x) + 5 = 2(-2 - x)² + 8(-2 - x) + 5
Das vereinfachen wir nun so lange, bis links und rechts möglichst das gleiche steht:
-5:
2(-2 + x)² + 8(-2 + x)= 2(-2 - x)² + 8(-2 - x)
/2:
(-2 + x)² + 4(-2 + x)= (-2 - x)² + 4(-2 - x)
ausmultiplizieren:
4 - 4x + x^2 -8 + 4x = 4 + 4x + x^2 -8 -4x
zusammenfassen:
x^2 + 0x -4 = x^2 + 0x -4
vereinfachen:
x^2 - 4 = x^2 -4
Ergebnis:
Es kommmt eine wahre Aussage raus, weil beide Seiten gleich sind, es also gilt, dass g(-2 + x) = g(-2 - x)
Damit ist bewiesen, dass g(x) achsymetrisch zu x = -2 ist.
Achsensymmetrisch hast du z.B. wenn du die y-Achse als Symmetrieachse nimmst. Dann ist der Punkt A(3I0) und sein Spiegelpunkt B(-3I0) achsensymmetrisch zur y-Achse.
Jetzt zu deiner Aufgabe. Also die Funktion ist achsensymmetrisch bei x = -2. Wenn dies so ist, dann könntest du z.B. die x-Koordinaten -1 und -3 einsetzen und es muss die gleiche y-Koordinate herauskommen. Bei den x-Koordinaten, die ich genannt habe, gilt , dass die eine Koordinate eine Einheit über und die andere eine Einheit unter der Achse ist.
2 * (-1)^2 + 8 * (-1) + 5 = 2 * (-3)^2 + 8 * (-1) + 5
-1 und -3
Also ist die Funktion nicht achsensymmetrisch.
Edit: Ups, habe jetzt gesehen, dass jemand dieselbe Idee mit denselben Koordinaten schon gesagt hat. Egal, wenigstens habe ich es noch berechnet...
Stimmt. Die Funktion ist achsensymmetrisch. Hatte mich verrechnet. Sorry! Hätte nicht passieren sollen! Deine Lösung stimmt absolut. Gute Nacht.
jo. Danke ich kann ja dein ansatz in "richtiger" Form eintragen. Passiert mal das man sich verrechnet. Würden Menschen nie verrechnen stünden wir heut ganz wo anders xD
Wenn die Funktion an x=-2 Achsymmetrisch ist, muss gelten, dass die Stellen, die den selben Abstand von x haben, auch den selben Funktionswert haben.
Das lässt sich prüfen, indem du f(-2+x) und f(-2-x) berechnest, und schaust, ob beides der gleiche Ausdruck ist.
Eine zweite Möglichkeit wäre, dass du zeigst, dass die x Koordinate vom Scheitelpunkt gleich -2 ist, da die Funktion eine Parabel ist
Als Ergänzung: Da dies ein Polynom ist, wäre eine dritte Möglichkeit, g(x-2) auszurechnen und zu schauen, ob in diesem Term alle Exponenten gerade sind.
Die Funktion ist eine quadratische Funktion, das Minimum liegt bei -2, also ist sie symmetrisch zu x = -2.
Hi Alperen04,
Das kannst du nachweisen, indem du zwei, vier oder mehr x-Werte mit dem selben Abstand zu x = -2 wählst und deren Y-Wert anschaust.
Wenn du z.B. -3 und -1 als X Wert einsetzt, sollte der gleiche Y Wert rauskommen. Selbiges gilt bei z.B. x= -5 oder x= 1. Ist der Y-Wert dann gleich, weißt du, dass eine Symmetrie vorliegt an der Stelle x= -2
Viele Grüße, hoffe, das ist verständlich.
Nur weil man ein paar Stellen ausprobiert bedeutet es noch lange nicht, dass die Funktion auch wirklich Achsensymmetrisch ist
ich habs verstanden. Nur wie soll ich "rechnerisch" es auf papier bringen?
Indem du Rechnerisch das ganze hinschreibst. Du setzt also die Werte tatsächlich auf Papier in die Funktion ein und rechnest es dann aus. Wenn du dann die Y-Werte ausgerechnet hast kannst du danach deinen Antwortsatz schreiben ;-) so einfach
x=-3;y=-1. x=-1;y=-1. Wieso ist die Funktion nicht aschensymmetrisch??