Achsensymmetrie rechnerisch nachweisen?
Das ist die Aufgabe. Ich habe es nicht verstanden wie ich sie lösen kann. Kann mir da jemand helfen?
A: Weise rechnerisch nach, dass die Funktion g (x) = 2x² + 8x + 5 achsensymetrisch zur Achse x = -2 ist.
5 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Die Funktion ist dann symetrisch zur Geraden x = -2 wenn gilt:
g(-2 + x) = g(-2 - x)
Nun setzen wir beide Terme in g(x) ein und überprüfen, ob dabei eine wahre Aussage rauskommt:
(-2 + x) eingesetzt:
g(-2 + x) = 2(-2 + x)² + 8(-2 + x) + 5 (1)
(-2 - x) eingesetzt:
g(-2 - x) = 2(-2 - x)² + 8(-2 - x) + 5 (2)
gemäß obiger Bedingung solll also gelten:
2(-2 + x)² + 8(-2 + x) + 5 = 2(-2 - x)² + 8(-2 - x) + 5
Das vereinfachen wir nun so lange, bis links und rechts möglichst das gleiche steht:
-5:
2(-2 + x)² + 8(-2 + x)= 2(-2 - x)² + 8(-2 - x)
/2:
(-2 + x)² + 4(-2 + x)= (-2 - x)² + 4(-2 - x)
ausmultiplizieren:
4 - 4x + x^2 -8 + 4x = 4 + 4x + x^2 -8 -4x
zusammenfassen:
x^2 + 0x -4 = x^2 + 0x -4
vereinfachen:
x^2 - 4 = x^2 -4
Ergebnis:
Es kommmt eine wahre Aussage raus, weil beide Seiten gleich sind, es also gilt, dass g(-2 + x) = g(-2 - x)
Damit ist bewiesen, dass g(x) achsymetrisch zu x = -2 ist.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Achsensymmetrisch hast du z.B. wenn du die y-Achse als Symmetrieachse nimmst. Dann ist der Punkt A(3I0) und sein Spiegelpunkt B(-3I0) achsensymmetrisch zur y-Achse.
Jetzt zu deiner Aufgabe. Also die Funktion ist achsensymmetrisch bei x = -2. Wenn dies so ist, dann könntest du z.B. die x-Koordinaten -1 und -3 einsetzen und es muss die gleiche y-Koordinate herauskommen. Bei den x-Koordinaten, die ich genannt habe, gilt , dass die eine Koordinate eine Einheit über und die andere eine Einheit unter der Achse ist.
2 * (-1)^2 + 8 * (-1) + 5 = 2 * (-3)^2 + 8 * (-1) + 5
-1 und -3
Also ist die Funktion nicht achsensymmetrisch.
Edit: Ups, habe jetzt gesehen, dass jemand dieselbe Idee mit denselben Koordinaten schon gesagt hat. Egal, wenigstens habe ich es noch berechnet...
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Tannibi/1568018311030_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1568018311000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Tannibi/1568018311030_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1568018311000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Stimmt. Die Funktion ist achsensymmetrisch. Hatte mich verrechnet. Sorry! Hätte nicht passieren sollen! Deine Lösung stimmt absolut. Gute Nacht.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Alperen04/1585565149877_nmmslarge__1369_327_338_338_d8edbf07960263bd1c6f006473725ca4.png?v=1585565150000)
jo. Danke ich kann ja dein ansatz in "richtiger" Form eintragen. Passiert mal das man sich verrechnet. Würden Menschen nie verrechnen stünden wir heut ganz wo anders xD
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Wenn die Funktion an x=-2 Achsymmetrisch ist, muss gelten, dass die Stellen, die den selben Abstand von x haben, auch den selben Funktionswert haben.
Das lässt sich prüfen, indem du f(-2+x) und f(-2-x) berechnest, und schaust, ob beides der gleiche Ausdruck ist.
Eine zweite Möglichkeit wäre, dass du zeigst, dass die x Koordinate vom Scheitelpunkt gleich -2 ist, da die Funktion eine Parabel ist
![](https://images.gutefrage.net/media/user/MagicalGrill/1548472380616_nmmslarge__260_60_1080_1080_9461c4b490096d30204b9d24434abaa7.png?v=1548472381000)
Als Ergänzung: Da dies ein Polynom ist, wäre eine dritte Möglichkeit, g(x-2) auszurechnen und zu schauen, ob in diesem Term alle Exponenten gerade sind.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Tannibi/1568018311030_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1568018311000)
Die Funktion ist eine quadratische Funktion, das Minimum liegt bei -2, also ist sie symmetrisch zu x = -2.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/MrDog/1676135846085_nmmslarge__0_0_120_120_040779a85bcf89fd282fa9af46f30da0.webp?v=1676135846000)
Hi Alperen04,
Das kannst du nachweisen, indem du zwei, vier oder mehr x-Werte mit dem selben Abstand zu x = -2 wählst und deren Y-Wert anschaust.
Wenn du z.B. -3 und -1 als X Wert einsetzt, sollte der gleiche Y Wert rauskommen. Selbiges gilt bei z.B. x= -5 oder x= 1. Ist der Y-Wert dann gleich, weißt du, dass eine Symmetrie vorliegt an der Stelle x= -2
Viele Grüße, hoffe, das ist verständlich.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Alperen04/1585565149877_nmmslarge__1369_327_338_338_d8edbf07960263bd1c6f006473725ca4.png?v=1585565150000)
ich habs verstanden. Nur wie soll ich "rechnerisch" es auf papier bringen?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/MrDog/1676135846085_nmmslarge__0_0_120_120_040779a85bcf89fd282fa9af46f30da0.webp?v=1676135846000)
Indem du Rechnerisch das ganze hinschreibst. Du setzt also die Werte tatsächlich auf Papier in die Funktion ein und rechnest es dann aus. Wenn du dann die Y-Werte ausgerechnet hast kannst du danach deinen Antwortsatz schreiben ;-) so einfach
![](https://images.gutefrage.net/media/user/MrDog/1676135846085_nmmslarge__0_0_120_120_040779a85bcf89fd282fa9af46f30da0.webp?v=1676135846000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Nur weil man ein paar Stellen ausprobiert bedeutet es noch lange nicht, dass die Funktion auch wirklich Achsensymmetrisch ist
![](https://images.gutefrage.net/media/user/MrDog/1676135846085_nmmslarge__0_0_120_120_040779a85bcf89fd282fa9af46f30da0.webp?v=1676135846000)
x=-3;y=-1. x=-1;y=-1. Wieso ist die Funktion nicht aschensymmetrisch??