Eine Mengenalgebra ist per Definition abgeschlossen unter Vereinigungen und Komplementen. Damit ist sie (dank De Morgan) auch abgeschlossen unter Durchschnitten:



Damit ist sie auch abgeschlossen unter Differenzen:



Ich hatte nur Ana und LinA (und theoretisch hätte ich noch was im Nebenfach hören sollen, aber das hab ich geschoben, weil ich mit Mathe voll beschäftigt war).

Wenn (x1, y1) = (x2, y2) ist, folgt einfach nach Definition:



Wenn x1 = y1 ist, besteht die linke Menge nur aus einem Element, nämlich aus {x1}.

Damit muss auch die rechte nur aus einem Element bestehen, woraus x2 = y2 folgt. Aufgrund der Gleichheit der Mengen folgt dann {x1} = {x2} und damit x1 = x2 (und damit automatisch y1 = y2).

Wenn hingegen x1 und y2 verschieden sind, hat die linke Seite zwei (unterschiedliche) Elemente. Damit muss die rechte Seite auch zwei Elemente haben.

Wegen der Gleichheit, wissen wir dass {x2} auch als Element der linken Seite auftreten muss. D.h. wir haben {x2} = {x1} oder {x2} = {x1,y1}. Die letzte Möglichkeit funktioniert nicht, weil {x1,y1} zwei Elemente hat, {x2} aber nur eines.

D.h. es muss {x2} = {x1} gelten und somit x2 = x1.

Nun ist es leicht zu folgern, dass {x2,y2} = {x1,y1} und damit y2 = y1 gelten muss.

Mit Worten funktioniert, ich würde vermutlich einfach direkt auf Formeln gehen:



Eine Zeichnung würde ich nicht empfehlen, die reicht für gewöhnlich nicht in höherer Mathematik.

Die Hin-Richtung von a) ist nicht ganz sauber. Wir gehen davon aus, dass |x| = 0 gilt, soweit klar. Aber dann folgerst du irgendwie, dass weil |0| = 0 gilt, x = 0 sein muss. Das ist aber kein logischer Schluss:

Wenn |x| = 1 ist, könnte ich ja genauso argumentieren, dass x = 1 sein muss, weil 1>=0 und damit |1| = 1 gilt. Aber de facto ist auch |-1| = 1, d.h. mein Argument hinkt irgendwo.

Am besten machst du eine Fallunterscheidung:

Wenn x>=0 ist, folgt nach Definition der Betragsfunktion:

0 = |x| = x.

Wenn x < 0 ist, folgt nach Definition der Betragsfunktion:

0 = |x| = -x > 0. Ein Widerspruch.

Für b) würde ich zeigen, dass immer |x| >= x und |x| >= -x gelten (dasselbe gilt natürlich auch für y). Dann kannst du eine Fallunterscheidung nach (x + y) >= 0 bzw. (x + y) < 0 machen.

c) lässt sich durch clevere Anwendung der Ungleichung aus b) herleiten.

Du hast 2 public classes in einem gemeinsamen file - das hat Java nicht so gern :)

Entweder machst du deine zweite Klasse nicht public (du kannst das keyword einfach entfernen) oder du packst sie in eine separate Datei.

Deine Rechnung stimmt, dein Bild ist aber nicht korrekt. Du hast z.B. den Punkt E falsch eingezeichnet.

Wenn du den Punkt (0|2|3) hättest, müsstest du vom Ursprung aus ja einfach nur 2 Einheiten nach rechts gehen (für die x2-Koordinate) und 3 Einheiten nach oben (für die x3-Koordinate).

Da E aber (1|2|3) ist, musst du zusätzlich noch 1 Einheit in Richtung der x1-Achse machen, also auf dem Papier nach "diagnoal links unten".

Nehmen wir an, a = 1 und b = 2.

Was muss ich auf a addieren, um nach b zu kommen? Die Antwort: b - a = 1.

Und was muss ich auf b addieren, um nach a zu kommen? Antwort: a - b = -1.

Dasselbe gilt bei deinen Vektoren:

AB ist der Vektor, den du auf A addieren musst, um nach B zu kommen.

BA ist der Vektor, den du auf B addieren musst, um nach A zu kommen.

Hi, nein der hat nicht automatisch die Länge 1:

Betrachte die beiden Koordinatenformen:

3x + 0y + 0z = 3

2x + 0y + 0z = 2

Die beschreiben dieselbe Ebene, aber die Vektoren (3,0,0) und (2,0,0) haben unterschiedliche Längen.

Du kannst den Vektor normieren, indem du ihn durch seine Länge dividierst.

In (**) stand die Gleichung xv * ut = uy * sv.

Da das alles ganze Zahlen sind und Multiplikation in den ganzen Zahlen kommutativ ist, kann man die Faktoren einfach umsortieren und erhält, wenn man will:

uv * xt = uv * sy.

Wenn x ein Element von A ist, darf y kein Element von B sein (ansonsten wäre (x,y) ja ein Element von A x B).

Damit ist y automatisch ein Element von D (es muss ja in der Vereinigung B u D liegen).

Damit ist aber x kein Element von C (ansonten wäre (x,y) ja ein Element von C x D).

Nehmen wir mal deine Übersetzung auseinander:

f wird von X nach Y abgebildet

Genauer: f ist eine Abbildung von der Menge X in die Menge Y. D.h. für jedes x in X gibt es genau ein y in Y mit f(x) = y.

A ist eine Teilmenge vom Urbild der Funktion f^-1(f(A)) für alle A Teilmenge von X

f^-1(f(A)) ist keine Funktion, sondern eine Menge. Die Aussage, die dort steht, ist:

A ist Teilmenge der Menge f^-1(f(A)).

Was für eine Menge f^-1(f(A)) ist, gilt es in dieser Frage zu erforschen.

Das heißt, dass ich für jeden x-Wert genau einen y-Wert erhalte.

Nein, diese Eigenschaft erhältst du schon alleine dadurch, dass f eine Funktion ist (siehe oben). Injektivität bedeutet, dass jedes y aus Y höchstens einmal durch die Funktion angenommen wird.

Oder formaler: Wenn x und x' unterschiedliche Elemente von X sind, dann können die Funktionswerte f(x) und f(x') nicht gleich sein. Eine klassische Art, das als Formel zu schreiben, ist:

bzw äquivalent:



...

Ignorieren wir aber den zweiten Teil erstmal und beschäftigen uns nur mit der Aussage:

Für alle Teilmengen A von X gilt: A ist Teilmenge von f^-1(f(A)).

Allgemein gilt für Teilmengenbeweise: Wenn du zeigen sollst, dass M eine Teilmenge von N ist, musst du zeigen, dass jedes Element von M auch ein Element von N ist. Der klassische Ansatz ist, sich ein beliebiges Element m von M zu denken und dann irgendwie zu schlussfolgern, dass das Element auch in N liegt.

Hier könnte der Beweis also wie folgt aussehen:

Sei a ein beliebiges Element von A.

... (hier taucht deine Argumentationskette auf) ...

Deswegen ist a ein Element von f^-1(f(A)).

Jetzt musst du dich fragen: Warum gilt diese letzte Zeile? Was für Elemente liegen überhaupt in f^-1(f(A)) und warum ist a eines davon?

Tipp: Hangel dich an den Definitionen entlang. Was ist f(A)? Was ist allgemein f^-1(B)? Was ist also f^-1(f(A))?

Deine Ergebnisse stimmen, aber dein Rechenweg ist etwas undurchsichtig. Ich würde es vllt so machen:

250m

= 250m * (1km / 1000m)

= (250/1000) km

= (1/4)km.

Das erste Gleichzeichen kommt dadurch zustande, dass 1km = 1000m sind und damit 1km / 1000m = 1. Und Multiplikation mit 1 verändert den Wert nicht.

Das Ergebnis ist der Rest von der Division mit Rest:

24 / 0.28 = 85, Rest 0.2

Oder anders ausgedrückt: 24 = 85 * 0.28 + 0.2

Da hast du dich in der Reihenfolge verhaspelt, die richtige Lösung ist 18F.

Dual in Hex ist relativ simpel: Teile die Zahl in 4er-Blöcke (von rechts beginnend):

1 1000 1111

Ergänze vorne Nullen, bis auch der erste Block 4 Stellen hat:

0001 1000 1111

Übersetze die Blöcke einzeln in Hex:

1 8 F

Ein "return" funktioniert nur, wenn du eine Funktion hast, aus der du returnen kannst. Pack deinen Code in eine Funktion, und dann sollte es passen:

def are_parallel(v1, v2):
  if v1[0] == 0:
  ......
  return True

Und dann im Progammablauf kannst du die Funktion aufrufen:

print(are_parallel(v1,v2))

Das Produkt von zwei rationalen Zahlen ist selbst rational.

Wenn √3/5 rational wäre, wäre also auch (√3/5) * 5 = √3 rational, was es aber nicht ist.

Daher kann √3/5 nicht rational sein.

Allgemein: Wenn du keine Ahnung hast, rechne erstmal ein paar Beispiele durch.

Hier kannst du locker mal schauen, was für n = 1, n = 2, n = 3, n = 4 passiert und wirst dann hoffentlich feststellen, dass sich da ganz viel rauskürzen lässt.

Dann kannst du versuchen, deine Vermutungen im allgemeinen Fall wiederzufinden.

Tipp: Du wirst die Definition von Fakultät brauchen - wenn dir die nicht klar ist, schlag die besser nochmal nach.

Direkt bei der ersten Umformung hast du im ersten Summanden vergessen, das B^(-1) vom Ende anzufügen.

Beim zweiten Summanden weiß ich nicht, wie du von

auf 2A^(-1) kommst. Wo ist das B geblieben? Das würde sich dann mit dem B^(-1) wegkürzen, weswegen am Ende nur 2A^(-1) stehen bleibt.

Das ist eine ganz normale Steckbriefaufgabe.

• t schließt in 0 sprungfrei an f an => t(0) = f(0)
• t schließt dort knickfrei an => t '(0) = f '(0)
• t schließt dort krümmungsruckfrei an => t ''(0) = f ''(0)

Und analog für die Stelle 3 und g.

Überleg dir, wie viele unabhängige Informationen das sind und welchen Grad die Zielfunktion t dann wohl haben wird. Löse das ganze dann wie jede andere Steckbriefaufgabe.