Der Rang einer Matrix ist gleich dem Rang ihrer Transponierten. Daher ist es für die Bestimmung des Rangs egal, ob du die Vektoren als Zeilen oder als Spalten in die Matrix schreibst - mit beiden Varianten kannst du am Ende des Gauß-Verfahrens sofort ablesen, wie viele linear unabhängige Vektoren es gibt und wie groß daher eine Basis sein muss.

Ich persönlich würde die erste Variante bevorzugen, weil man bei der auch sofort eine Basis mitgeliefert bekommt.

Hier wird aber gesagt dass die Äquivalenzklasse von X bedeutet dass y in X liegt sodass y mit x in relation steht. Das heißt rein theoretisch schließt man nicht aus dass die Relation zb asymmetrisch sein darf

Wenn von Äquivalenzklassen geredet wird, dann wird implizit angenommen, dass ~ hier eine Äquivalenzrelation ist. Prinzipiell ist die Definition auch für beliebige Relationen möglich, aber dann würde man [x] nicht mehr Äquivalenzklasse nennen.

zudem frage ich mich warum y in X und nicht x in X deklariert wird?

Machen wir mal ein ganz konkretes, nicht besonders mathematisches Beispiel. Wir haben eine Menge M von Menschen, sagen wir:

M ={Anna, Bernd, Claus, Dennis, Emily}.

Die haben alle für Freitagabend Pläne:

• Anna und Bernd gehen zusammen ins Kino
• Claus und Dennis feiern zusammen in der Disco
• Emily geht alleine ins Fitness-Studio

Wir können jetzt auf M eine Äquivalenzrelation definieren durch:

x ~ y genau dann wenn x am Freitagabend gemeinsam mit y unterwegs ist.

D.h. wir haben z.B. Anna ~ Bernd, aber nicht Claus ~ Emily.

Du kannst zur Übung gerne nachprüfen, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.

Schauen wir uns nun beispielsweise die Äquivalenzklasse von Anna an:

[Anna] = { y ∈ M | Anna ~ y}.

Das ist die Menge aller Menschen (aus M), die Freitagabend gemeinsam mit Anna unterwegs sind. Das sind gerade Anna und Bernd:

[Anna] = {Anna, Bernd}.

Analog berechnen wir:

• [Bernd] = {Anna, Bernd},
• [Claus] = [Dennis] = {Claus, Dennis},
• [Emily] = {Emily}.

D.h. es gibt eigentlich nur 3 unterschiedliche Äquivalenzklassen, nämlich [Anna], [Claus] und [Emily]. Unsere Äquivalenzrelation hat dadurch unsere ursprüngliche Menge M auf relativ natürliche Weise in 3 paarweise disjunkte Gruppen aufgeteilt.

Das gibt uns den Vorteil, dass wir nun über [Anna] als "Anna's Gruppe" reden können, statt über "Anna und Bernd". Das ist hilfreich, wenn wir Aussagen treffen wollen, die sich nicht für die konkreten Menschen interessieren sondern jeweils für ganze Gruppen zutreffend sind.

Bei mathematischeren Beispielen kannst du genauso denken: [x] ist einfach die Gruppe (im nicht algebraischen Sinn), zu der x gehört. Und jede Äquivalenzrelation garantiert, dass diese Gruppen paarweise disjunkt sind.

Notwendig: Die Bedingung muss erfüllt sein, damit es sich überhaupt um eine Extrem-/Wendestelle handeln kann.

Beispiel: f '(x) = 0 ist notwendig, damit x eine Extremstelle ist. Oder anders ausgedrückt: Wenn nicht f '(x) = 0 gilt, dann ist x auch keine Extremstelle.

Hinreichend: Die Bedingung "reicht aus", um zu zeigen dass es sich um eine Extrem-/Wendestelle handelt.

Beispiel: (f '(x) = 0 und f ''(x) ≠ 0) ist hinreichend, damit x eine Extremstelle ist. Oder anders ausgedrückt: Wenn f '(x) = 0 und f ''(x) ≠ 0 ist, dann ist x safe eine Extremstelle.

Zusammengefasste Faustformel:

• Hinreichend erfüllt ---> Extrem-/Wendestelle.
• Notwendig nicht erfüllt: ---> keine Extrem-/Wendestelle.
• Notwendig erfüllt, aber hinreichend nicht erfüllt ---> 🤷‍♀️

Nachsatz: Beachte, dass f '(x) = 0 zur hinreichenden Bedingung dazugehört, nur f ''(x) ≠ 0 reicht nicht!

Wenn wir eine Zahl n haben, dann gilt:

n^2

= ((n - 50) + 50)^2 | binomische Formel

= (n - 50)^2 + 100 * (n - 50) + 50^2

= (n - 50)^2 + 100 * (n - 50) + 2500 | 100 ausklammern

= (n - 50)^2 + 100 * (n - 50 + 25)

= (n - 50)^2 + 100 * (n - 25).

Wenn wir uns jetzt die Dezimaldarstellung einer Zahl wie 12345 angucken, dann können wir die ja schreiben als:

12345

= 45 + 12300

= 45 + 123 * 100.

D.h. wir spalten die Zehner- und Einerstelle von der Zahl ab und addieren alles ab der Hunderterstelle separat drauf.

Der obige Term (n - 50)^2 + 100 * (n - 25) hat jetzt auch diese Form: (n - 50)^2 sind die Zehner- und Einerstelle und (n - 25) ist alles ab der Hunderterstelle.

Diese Dezimaldarstellung funktioniert aber natürlich nur, solange (n - 50)^2 tatsächlich kleiner als 100 ist! D.h. nur für solche n, für die (n - 50) betragsmäßig nicht größer als 9 ist, denn bereits 10² ist dreistellig.

Das ist gerade für alle n zwischen 41 und 59 der Fall.

Moment, was ist mit n = 25?

Das ist mehr oder weniger Zufall, weil (n - 50)^2 = 25^2 gilt und unser Term für "alles ab der Hunderterstelle" sich zu 0 auswertet.

Aber z.B. für n = 49 funktioniert das doch gar nicht!?

Ok, 49^2 = 2401. Aber wenn man (49 - 25) und (50 - 49)^2 aneinanderreiht, kommt man nur auf 241.

Beachte aber, dass der Term (n - 50)^2 für die Einer- und Zehnerstelle steht. D.h. wir müssen die Zehnerstelle schon explizit mitnehmen. Schreiben wir also 1 = 01, so funktioniert die Regel auch hier.

Nun scheint es mir aber so, dass es überhaupt nichts bringt, japanische Wörter und Sätze zu kennen, wenn man keine Ahnung von den Schriftzeichen hat.

Das stimmt so nicht - du kannst durchaus lernen, Japanisch zu verstehen und zu sprechen, ohne auch nur ein einziges Zeichen zu kennen (ursprünglich hatten die Japaner überhaupt keine Schrift und konnten sich trotzdem verständigen).

Gerade wenn du nicht fließend sprechen, sondern einfach nur "überleben können" möchtest, sind Zeichen auch nicht unbedingt notwendig - du kannst dich mit den wichtigsten Phrasen durchschlagen.

"Entschuldigen Sie bitte, ..."

"... können Sie Englisch sprechen?"

"... wo geht's zum Bahnhof?"

"... ich hätte gerne das hier."

"... kann ich mit Karte zahlen?"

"... könnten Sie das nochmal langsamer für mich wiederholen?"

usw. sind sicher alles nützliche Sätze, die man locker einfach so lernen kann (und am besten lernst du auch dazu, die gängigen Antworten darauf zu verstehen 😉). Wenn du in Japan mit Schriftzeichen konfrontiert wirst und niemanden findest, der dir weiterhelfen kann, kannst du dich vermutlich immer noch mit google lens retten.

... That being said, es ist einfacher Japanisch zu lernen, wenn du auch die Kana lernst (davon gibt's gar nicht soo viele). Zum einen hilft das bei der Aussprache, zum anderen setzen viele Quellen zum Lernen voraus, dass du wenigstens Hiragana lesen kannst.

Das gilt einfach immer:

Weil 4 ein Teiler von 24 ist, ist 4 somit auch ein Teiler von 24 * 2, von 24 * 3 und allgemeiner von 24 * a für jede ganze Zahl a.

Wir wissen, dass erst durch die Zusatzinformation "es gibt ein klar ältestes Kind" die Aufgabe eindeutig lösbar wurde. Damit gab es vorher eine denkbare Lösung, bei denen es mindestens zwei gleichaltrige "älteste" Kinder gab. Davon gibt es gar nicht so viele, denn dann dürfen diese ältesten Kinder nicht älter als 6 sein (weil schon 7+7 über 13 wäre):

• (6,6,1) [Produkt: 36]
• (5,5,3) [Produkt: 75]

Und das war's auch schon. Preisfrage: Welche der beiden Kombinationen war denkbar? Es muss eine sein, bei der eine andere Kombination existiert, bei der dasselbe Produkt und die Summe 13 herauskommt.

Überlegen wir uns das für den zweiten Fall: 75 = 5 * 5 * 3 ist bereits die Primfaktorzerlegung. Die einzige andere Möglichkeit, mit 3 Faktoren auf dasselbe Produkt zu kommen, ist wenn ein Kind das Alter 1 hat. Dann müssten die anderen Alter aber irgendwie den fehlenden Primfaktor abbilden:

• 25 * 3 * 1
• 15 * 5 * 1
• 75 * 1 * 1

Aber in all diesen Fällen wäre schon das älteste Kind zu alt, um noch eine Summe von 13 zu ermöglichen.

D.h. das Produkt ist 36.

Das Alter jedes Kindes ist somit ein Teiler von 36. Wir überlegen uns leicht, dass das älteste Kind mindestens 5 Jahre alt sein muss (denn 4 + 4 +4 wäre zu klein). Umgekehrt darf das Alter natürlich auch nicht über 13 sein. Bleiben die folgenden Teiler für das älteste Kind übrig:

12 oder 9 oder 6.

12 ist zu hoch, nur die Lösung (12,1,0) würde die Summe 13 erlauben, aber deren Produkt ist nicht 36.

Denken wir über 6 nach und die Möglichkeiten, damit auf die Summe 13 zu kommen: (6,6,1) ist nicht die Lösung, weil es kein eindeutiges ältestes Kind gäbe. (6,5,2) und (6,4,3) gehen nicht, weil ihr Produkt nicht 36 ist.

Tja, und mehr gibt's auch nicht. Somit ist das älteste Kind auch nicht 6.

Daher ist das älteste Kind 9. Wir verteilen den Restlichen Faktor von 4 auf die anderen beiden Kinder:

• (9,4,1) - ergibt nicht die Summe 13
• (9,2,2) - die einzig mögliche Lösung.

Das ganze nennt sich "Rang-Ungleichung von Sylvester" (engl.: "Sylvester rank inequality"). Dazu sollten sich im Internet Beweise finden lassen.

Wenn du nur new A(); schreibst, erzeugst du ein Objekt vom Typ A, auf das du im späteren Verlauf des Programms nicht mehr zugreifen kannst, weil du keine Referenz darauf hast. Das liegt dann einfach nutzlos im Speicher rum.

Vergleiche:

Mensch mensch = new Mensch();
mensch.Huepfen();
mensch.Laufen();
mensch.Schlafen();

mit:

new Mensch();
// und jetzt?

Falls |a| > 1 ist:

Für eine beliebige reelle Zahl x betrachte die Folge:

(x, x/a, x/a², x/a³, ...)

Wohin konvergiert die? Was wissen wir damit über die Folge

(f(x), f(x/a), f(x/a²), f(x/a³), ...)?

Wenn a reell ist, dann ist Q(a) ja eh eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wenn also jede Nullstelle von f in Q(a) liegt, ist somit auch jede Nullstelle von f reell.

Beachte, dass die 8ten Einheitswurzeln eine zyklische Gruppe unter Multiplikation sind. Wenn a eine primitive 8te Einheitswurzel ist, ist somit jede Lösung der Gleichung x^4 = -1 bereits in Q(a) enthalten, wir brauchen sonst nichts mehr zu adjungieren.

Wie kommst du allerdings auf den Grad 8? Wir haben 1, a, a², a³ als linear unabhängige Vektoren über Q, aber a^4 = (-1) * 1 ist ja bereits wieder eine Linearkombination der anderen Vektoren.

Du hast recht, das ist kein Dreieck. Aber: Du kannst es als die Kombination aus einem Rechteck und einem darauf aufgesetzten rechtwinkligen Dreieck betrachten, indem du vom unteren Ende der rechten Seite eine zu x parallele Linie einzeichnest.

Probiere mit dieser zusätzlichen Linie noch einmal, x zu berechnen.

Stell dir eine Ursprungsgerade g im dreidimensionalen Raum vor (das ist unser U1). Das orthogonale Komplement dieser Geraden bezüglich des Standard-Skalarprodukts ist die (Ursprungs-)Ebene, mit der g einen 90°-Winkel bildet.

Nun nehmen wir uns eine zweite (Ursprungs-)Gerade g' (U2), die nicht identisch zu g ist. Auch ihr orthogonales Komplement ist eine Ebene.

Der von g und g' aufgespannte Raum g+g' ist eine Ebene E. Ihr orthogonales Komplement ist die Ursprungsgerade, die senkrecht auf E steht. Und diese Gleichung besagt, dass das genau der Durchschnitt der beiden Ebenen ist, die die orthogonalen Komplemente von g und g' sind.

... Was ja auch irgendwie einleuchtend ist: Wenn die Gerade senkrecht auf dem von g und g' erzeugten Raum stehen soll, muss sie ja senkrecht zu g und zu g' stehen.

Theoretisch ist die Menge aller Strings (=Aneinanderreihungen von Buchstaben) unendlich groß. In der Praxis ist es aber unhandlich, mit zu langen Wörtern zu arbeiten, weil ab einer bestimmten Länge die Lebenszeit zum Ausschreiben/Aussprechen fehlt.

Einfaches Beispiel, warum es unendlich viele Strings gibt:

• Großvater
• Urgroßvater
• Ururgroßvater
• Urururgroßvater
• ....

Katakana werden meist für ausländische Wörter und Namen benutzt:

アルバイト (arubaito) ---> Teilzeitjob (Abgeleitet aus dem deutschen Wort "Arbeit")

トム (tomu) ---> Tom

Hiragana sind die Silben (genauer: Moren), aus denen jedes japanische Wort gebildet werden kann. Insbesondere kann man theoretisch jeden japanischen Text komplett in Hiragana schreiben. Hiragana werden oft für grammatikalische Konstrukte (Hilfsverben, Partikeln etc) verwendet.

Kanji an sich sind keine Silben sondern "Zeichen mit Bedeutung". Sie können selbst für Worte stehen, oder mehrere Kanji zusammen können ein Wort bilden:

月 ---> Mond/Monat

四 ---> Vier

四月 ---> April (der vierte Monat)

Wie gesagt sind Kanji nicht einzelne Silben, sondern haben eine oder mehrere mögliche Lesungen:

月 ---> つき (tsuki)

四 ---> よん (yon) oder し (shi)

四月 ----> しがつ (shigatsu)

Wie du aus diesem Beispiel erkennst, kann sich die Lesung je nach Kontext ändern: 月 alleine wird つき gelesen, aber im Wort 四月 wird es plötzlich がつ ausgesprochen. Das kann den Einstieg in das Lernen von Kanji durchaus mühselig machen 😔

Oft kombiniert man nicht nur Kanji miteinander, sondern auch Kanji mit Hiragana. Vor allem bei Verben passiert das häufig, um die Funktion des Verbs auszudrücken:

食 --> Mahlzeit

食べる ---> essen

食べられる ---> essen können (oder auch gegessen werden)

食べている ---> im Zustand des Essens sein ("essend")

Stimmt!

Ja, aber noch mehr hilft es Code selbst zu schreiben, der anfangs vllt nicht funktioniert, und dann - z.B. mittels Googlen - herauszufinden, warum er nicht funktioniert. Dann kannst du den Code nach und nach verbessern, bis er hoffentlich irgendwann das tut, was du dir vorstellst.

In vielerlei Hinsicht sind な-Adjektive einfach nur Nomen und verhalten sich weitesgehend auch genauso:

家だった --> es war ein Haus

きれいだった --> es war sauber

家じゃない --> es ist kein Haus

きれいじゃない --> es ist nicht sauber.

Insofern ist es etwas irreführend, überhaupt von "Adjektiven" zu sprechen, eigentlich stimmt das gar nicht wirklich. Die einzig richtigen Adjektive sind い-Adjektive.

な-Adjektive im Vergleich zu den anderen Nomen haben die zusätzliche Eigenschaft, dass sie "beschreibend" auf andere Nomen einwirken können, eben indem man ein な dazwischen packt:

きれいな家 --> ein sauberes Haus.

Ein Hinweis zur Güte: Gewissermaßen können das andere Nomen auch scheinbar manchmal, indem man ein の dazwischenpackt. Mit の labeln wir das nachstehende Nomen mit dem vorherstehenden Nomen bzw wir beschreiben ein Zugehörigkeitsverhältnis:

日本語の本 --> ein japanisches Buch (ein Buch, das ich mit dem Label "japanische Sprache" versehen hab) [ein Buch, das zur japanischen Sprache gehört].

Wir halten fest: Noun + な -> Beschreibung. Noun + の -> Label/Zugehörigkeit.

TLDR: な-Adjektive sind eigentlich Nomen. Behandle sie so, und die meisten grammatikalischen Fragezeichen lösen sich sofort in Luft auf.

... Aber wieso das な?

Kurzer Exkurs zum Thema "Beschreibung": Eigentlich müssen Beschreibungen nicht nur Adjektive sein. Sätze können ebenfalls als Beschreibung dienen. Im Deutschen ist das genauso:

Ich starte mit einem normalen Satz: "Er geht zur Schule".

Ich benutze diesen Satz, um jemanden oder etwas näher zu beschreiben:

"Der Junge, der zur Schule geht, isst ein Sandwich."

Im Japanischen geht das auch: Wir starten mit einem normalen Satz:

学校に行く。

Und nutzen den Satz, um jemanden oder etwas näher zu beschreiben:

学校に行く男の子がサンドイッチを食べている。

D.h. im Japanischen packen wir den gesamten Satz einfach als Beschreibung direkt vor das Nomen.

Bei な-Adjektiven ist der Satz, den wir als Beschreibung nutzen wollen, typischerweise super kurz:

きれいだ。Es ist sauber.

Nach dem, was wir gerade gelernt haben, sollten wir den Satz einfach direkt vor das Nomen packen können:

きれいだ家が欲しい。(❌)

Aber in diesem Fall (wie auch in anderen Konstellationen) wird das だ durch ein な ersetzt. Das な ist einfach eine andere Form der Kopula だ:

きれいな家が欲しい。(✅)

Ich hab die meistens mit einem Komilitonen zusammen bearbeitet.