Abbildung: harmonische Summe, injektiv, surjketiv, bijektiv?
Hallo,
bräuchte leider hilfe mit i - iii. Mein Ansatz für i ist zu zeigen dass aus f(m) = f(n) folgt, dass m und n identisch sind, aber ich wüsste nicht wie ich umformen soll? könnte man bei (i) nicht auch zeigen dass die f(n+1) stets größer ist als f(n) und injekivität durch strenges monotones wachstum zeigen? bei (ii) und (iii) weiß ich grad nicht wirklich weiter bin für jede Hilfe dankbar.
3 Antworten
Das ist ja mal eine Herausforderung!
Zur Injektivität hast du recht, da reicht die Monotonie. Surjektivität kann nicht gegeben sein. Das kann man ebenfalls mit Hilfe der Monotonie zeigen. Nimm z.b. die 5. Partialsumme (137/60). Alle Elemente von Q < 137/60 ausser f(1) - f(4) können aufgrund der Monotonie kein Element des Wertebereichs sein.
(iii) ist ziemlich heftig. Wesentlich ist hier die Frage, ob es ausser f(1) weitere natürliche Zahlen in der Entwicklung der harmonischen Reihe gibt und wenn ja, ob diese sich trivial angeben lassen. Ehrlich gesagt bin ich damit überfragt :-(
Ich kann das was du da schreibst nicht einordnen. Bist du bei a) oder b)?
???? Die Addition von positiven Zahlen ist monoton. Das ist eine Folge aus dem Monotonieaxiom der reellen Zahlen: Ist a < b, so ist a + c < b + c für alle a, b, c aus R.
Ähh, der nächste Interface-Fehler von mir :facepalm:. Gehört natürlich zur Frage von @GalactoseDd.
genau. Die Abbildung geht von den natürlichen Zahlen in die rationalen, die Abbildungsfunktion ist gerade die Harmonische Reihe. Da kommt aber kein - vor, daher meine Verwirrung wegen deines Beitrags.
ich meine fällt dir ein formaler weg ein das zu zeigen evtl. in form eines beweises?
Ja, hatte ich doch (leider an der falschen Stelle) geschrieben:
???? Die Addition von positiven Zahlen ist monoton. Das ist eine Folge aus dem Monotonieaxiom der reellen Zahlen: Ist a < b, so ist a + c < b + c für alle a, b, c aus R.
Ähh, der nächste Interface-Fehler von mir :facepalm:. Gehört natürlich zur Frage von @GalactoseDd.
Erlichgesagt, bin ich mir nicht ganz sicher was Frage 3 meint, also das Bild von f(N) in einfacherweise darstellen?
Damit ist gemeint, kann man über eine einfache Rechnung abbilden, welche Teilsummen der harmonischen Reihe sich zu einer natürlichen Zahl aufaddieren. Wie gesagt, damit bin ich leider überfragt :-(
wie siehts mit frage b) aus in bezug auf ii und iii ? danke
Na komm, ein wenig Arbeit mußt du schon rein stecken :-). Für die Surjektivität mußt du ein y aus Q finden, dass sich nicht mit n-1/n darstellen läßt. Das sollte nicht schwer sein. Die Einschränkung des Wertebereiches auf N ist leer (bis auf die 0), da n-1 und n nie gleichzeitig durch 2 teilbar sein können und somit der Bruch nie vollständig aufgelöst werden kann.
klar mach paralell dazu eine andere aufgabe
aber zu b) iii) y ist ja (x-1)/x dann wäre die umkehrfunktion doch x= 1/(-y +1) oder wie sollte ich in dem fall, also keine bijektivität arumentieren?
Du kannst m.E. schlicht und einfach argumentieren dass die Abbildung nach N (und die ist hier gefragt) überhaupt nicht gegeben ist.
Injektiv heißt, dass wenn ein Element aus dem Ergebnisraum ein Funktionswert von f(x) ist, dass x dann eindeutig ist. Anders ausgedrückt: es gibt nicht verschiedene x1, x2, so dass f(x1) = f(x2) ist.
Surjektiv heißt, dass jedes Element aus dem Ergebnisraum Funktionswert eines f(x) ist.
Ich schätze deine Kommentare sonst sehr. Aber wenn der Fragesteller das nicht weiß würde er keine solchen Aufgaben bearbeiten :-)
Danke für den Hinweis. Leider habe ich nicht erkannt, wie weit die Frage dem Fragesteller klar war.
Hinweis: hatte hier
https://www.gutefrage.net/frage/warum-ist-die-funktion-subjektiv
gerade das Thema surjektiv beschrieben. Vielleicht meine Aussagen dort klarer.
i) f ist monoton und daher injektiv.
Beweis der Monotonie: da die Summe der 1/i größer als Null ist.
ii) f ist nicht surjektiv.
Beweis: f(1) = 1 > 0 und wegen der Monotonie von f alle f(n) > f(1) > 0 sind.
iii) f(ℕ) lässt sich nicht in einfacher Weise darstellen. Die Umkehrfunktion von f kann ich nicht explizit angeben (da vermutlich nicht möglich).
geht es hier wirklich um die Frage
1 - 1
2 - 1 + 1/2 = 3/2
3 - 3/2 + 1/3
4 - 3/2 + 1/3 + 1/4 ? usw
minus als abbildungszeichen ?