Abbildungen mit Variablen?

ich habe noch eine Übung gemacht und möchte kurz checken lassen ob ich richtig liege mit einer Begründung. Falls ich falsch liege bitte korrigiert mich.

1. Hier habe ich surjektiv angekreuzt, da man mit (-2,-2), (2,-2) oder (0,0) auf 0 kommt. Hier bin ich mir nicht sicher, ob es injektiv ist um ehrlich zu sein.
2. Hier ist es bijektiv, da wegen x^2 nur positiven Zahlen rauskommen (=injektiv) aber auch (2,2) und (-2,2) man auf (4,0) kommt.
3. Hier ist es nur injektiv, da bei x nur positiven Zahlen kommen und nicht doppelt abbildet.
4. Auch hier ist das injektiv, da das Ergebnis hier auch nicht doppelt abgebildet werden kann, wegen den natürlichen Zahlen.
5. Hier ist es weder surjektiv noch injektiv, da wegen x^2 nur positive Zahlen rauskommen aber bei x^3 entweder - oder + Zahlen rauskommen. Somit kann man keine negativen Zahlen abbilden bei x.

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

[Willibergi]

Es wirkt ein bisschen so, als hättest du die Begriffe noch nicht ganz verstanden.

• Injektiv heißt, dass kein Element aus der Zielmenge doppelt getroffen wird (jedes Element wird also höchstens einmal getroffen). Man sagt deshalb auch linkseindeutig dazu - jedes Element aus der Definitionsmenge links hat einen eindeutigen Partner aus der Zielmenge.
• Surjektiv heißt, dass jedes Element aus der Zielmenge getroffen wird, womöglich einzelne auch mehrmals (jedes Element wird also mindestens einmal getroffen). Jedes Element aus der Zielmenge hat einen (nicht unbedingt eindeutigen) Partner aus der Definitionsmenge.
• Bijektiv heißt, dass die Abbildung sowohl injektiv, als auch surjektiv ist. Jedes Element aus der Zielmenge wird also mindestens einmal (surjektiv), aber auch höchstens einmal (injektiv) getroffen - also genau einmal. Hier haben wir also tatsächlich volle Eindeutigkeit.

Schauen wir uns die erste Abbildung an:

$f:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z},\ \left(x,y\right)\mapsto x^2+2y$

Ist sie injektiv? Mit anderen Worten, gibt es zwei verschiedene Elemente aus der Definitionsmenge, die auf dasselbe Element der Zielmenge abgebildet werden? Quadrate sind dabei immer gute Kandidaten, denn dabei werden positive und negative Zahlen in einen Topf geworfen (ergeben dasselbe Quadrat). Und so ist es hier, du hast ja schon ein Beispiel gegeben:

$f\left(-2,-2\right)=0=f\left(2,-2\right)$

Das reicht schon, um Injektivität zu widerlegen. Überlegen wir uns jetzt Surjektivität: Wird jedes Element aus der Zielmenge getroffen? Mit anderen Worten, gibt es ein Element aus der Zielmenge (also eine ganze Zahl), die nicht getroffen wird. Der Clue ist hier, dass wir nur ganze Zahlen abbilden. Was wir erhalten, ist immer ein Quadrat plus eine gerade ganze Zahl (denn egal, was wir für y einsetzen, 2y ist immer gerade).

Das heißt, die Frage, die wir uns jetzt stellen müssen, ist: Ist jede Zahl als Quadrat plus eine gerade ganze Zahl darstellbar? Und wenn wir ein bisschen darüber nachdenken, ist die Antwort einfach: Klar. Quadrate können gerade oder ungerade sein (je nachdem, ob wir eine gerade oder ungerade Zahl quadrieren). Ist das Quadrat gerade, können wir durch Addieren einer geraden ganzen Zahl auf jede andere gerade Zahl kommen (auch Subtrahieren ist möglich, wenn die Zahl negativ ist). Ist das Quadrat hingegen ungerade, gilt dasselbe für alle ungeraden Zahlen: Durch Addieren einer geraden ganzen Zahl zu einer ungeraden Zahl können wir jede andere ungerade Zahl erreichen. Check, surjektiv.

Der Beweis für Surjektivität ist nicht ganz präzise. Wenn du nur ankreuzen sollst, reicht das, wollte man es beweisen, müsste man aber zeigen, dass es für jede ganze Zahl (also jedes Element der Zielmenge) ein ganzes Zahlentupel (also ein Element aus der Definitionsmenge) gibt, das darauf abgebildet wird. Das funktioniert aber genau so nach obiger Überlegung.

Der Vollständigkeit halber der Beweis: Sei z eine ganze Zahl und x² die nächste Quadratzahl mit gleicher Parität. Dann ist z - x² gerade und (z - x²)/2 =: y ganz. Damit gilt

$f\left(x,y\right)=f\left(x,\frac{z-x^2}{2}\right)=x^2+2\cdot\frac{z-x^2}{2}=z$

also ist f surjektiv.

Und bijektiv ist die Abbildung dann natürlich auch nicht, denn sie ist ja nicht mal injektiv.

Vielleicht hier mal kleine Beweisskizzen, wie man Injektivität bzw. Surjektivität beweisen bzw. widerlegen kann:

1. Injektivität widerlegen: Finde zwei verschiedene Elemente aus der Definitionsmenge, die auf dasselbe Element aus der Zielmenge abgebildet werden (denn dann wird ja ein Element aus der Zielmenge zweimal getroffen).
2. Surjektivität widerlegen: Finde ein Element aus der Zielmenge, auf das nicht abgebildet wird.
3. Injektivität beweisen: Zeige, dass wenn du zwei verschiedene Elemente aus der Definitionsmenge hast, diese auf jeden Fall auch verschiedene Funktionswerte haben (oder andersherum: zeige, dass wenn zwei Funktionswerte gleich sind, f(x) = f(y), sofort auch x = y gelten muss (es gibt also nur diesen trivialen Fall, in dem Funktionswerte gleich sein können)).
4. Surjektivität beweisen: Zeige, dass es für jedes Element aus der Zielmenge ein Element aus der Definitionsmenge gibt, das darauf abgebildet wird (damit wird jedes Element aus der Zielmenge (mindestens) einmal getroffen). Das haben wir oben zum Beispiel erreicht, indem wir plausibel gemacht haben, dass wir durch die Abbildungsvorschrift auf jede gerade und ungerade Zahl (also auf jede ganze Zahl) kommen können.

Teilweise stimmen deine Begründungen nicht, teilweise sind sie auch viel zu unscharf ("wegen den natürlichen Zahlen" - wie?). Versuche wirklich, dir selbst die Eigenschaften plausibel zu machen und sie erklären zu können. Und schau dir nochmal an, was injektiv, surjektiv und bijektiv wirklich bedeuten.

Comments

[vikiller01]

Vielen vielen Dank für diese schöne Erklärung. Ich werde mich nochmal dran setzen :)