Beweis Komposition von Abbildungen/surjektiv, injektiv?
Es seien X,Y,Z nichtleere Mengen und f: X->Y und g: Y->Z Abbildungen. Beweisen Sie:
Ist surjektiv und g injektiv, so ist f surjektiv.
Meine Frage ist weniger der Beweis dazu, als die Frage ob g nicht bijektiv sein müsste, damit die Komposition surjektiv sein kann? (Ist in der Fragestellung ja nicht explizit ausgeschlossen, dennoch frage ich mich das.)
Über Antworten freue ich mich sehr,
Vielen Dank!
2 Antworten
Aus der Voraussetzung, dass g ∘ f surjektiv ist, kann man folgern, dass g surjektiv ist.
Zusammen mit der Voraussetzung, dass g injektiv ist, ist g dann bijektiv.
Also ja: Unter den Voraussetzungen des Satzes ist g sogar bijektiv. (Die Bijektivität von g wurde nicht gefordert, da sich das sowieso aus den Voraussetzungen des Satzes folgern lässt. Der Satz ist mit „g injektiv“ statt „g bijektiv“ nützlicher, da man so nicht jedesmal zeigen muss, dass g bijektiv ist, wenn man den Satz verwenden möchte, sondern in diesem Zusammenhang der Nachweis der Injektivität für g genügt.)
Hier übrigens ein möglicher Beweis zur Aufgabe: https://i.imgur.com/84CXUpH.png
Richtig. Wenn f°g surjektiv ist, muss g surjektiv sein. Wegen der Angabe, g sei injektiv, ist g demnach freilich bijektiv.