Warum hat eine monotone Funktion f: [a,b] → ℝ höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen?
Hier die Antwort:
Für jede Unstetigkeitsstelle x∈[a,b] existieren die Grenzwerte f(x-) und f(x+). Durch Auswahl je einer rationalen Zahl aus den Intervallen (f(x-), f(x+)) erhält man eine Abbildung die Menge der Unstetigkeitsstellen auf ℚ. Da f streng monoton ist, sind die Intervalle paarweise disjunkt, und die Abbildung ist somit injektiv. Das zeigt die Behauptung.
Ich verstehe nicht ganz, wie ich mir das vorstellen soll. Kann das jemand vielleicht "einfacher" erklären, damit ich das intuitiv verstehen kann?
1 Antwort
- bist dir sicher, dass f nicht sogar streng monoton sein muss? ich mein dein Fragen-Titel ist falsch...
- der Beweis bildet die Intervalle auf die rationalen Zahlen ab...
- die Mächtigkeit der Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar unendlich...
- da die Funktion f streng monoton steigt, kann es nicht sein, dass es zwei verschiedene Intervalle gibt, die sich überlappen, so dass die nie auf dieselbe rationale Zahl abgebildet werden können...
- oda?
nun mal ganz langsam... weiter unten im Fragetext steht doch „streng monoton“... wassn nun?
naja...
ich merk grad, dass Monotonie genügt, weil ja zwischen den Unstetigkeitsstellen die Funktion ruhig konstant sein darf, wenn sie will...
Unstetigkeitsstelle bedeutet hier ja „Sprung“, weil f auf [a,b] definiert ist...
ich dachte bisher an Polstellen oder so... war aber Quatsch... LOL
Aber wie kann ich mir das vorstellen? Ich nähere mich immer näher der Unstetigkeitsstelle von rechts und links an und in jeder Umgebung um die Unstetigkeitsstelle gibt es eine rationale Zahl. Diese ausgewählten q nehme ich dann und bilde sie auf die Menge der Rationalen Zahlen ab? (Was bedeutet das?).
wenn die Funktion f streng monoton ist, bedeutet das, dass keine rationale Zahl mehr als einmal vergeben werden kann... das Intervall ist ja offen, so dass die Ränder sich ruhig überlappen dürften, was aber wegen der strengen Monotonie sowieso nicht vorkommt...
die q können einfach identisch auf Q „abgebildet“ werden... da braucht man keine besonders komplizierte Abbildung...
„injektiv“ ist ja klar... oder? https://de.wikipedia.org/wiki/Injektive_Funktion
nee... so kompliziert würd ich das nich verstehen...
- sagen wir dein f springt bei x=0 von 0 auf 2...
- dann ist f(0-)=0 und f(0+)=2
- dann kannst du aus dem Intervall (0;1) eine rationale Zahl q aussuuchen.... z. B. q=1...
- dieses q kann nun in keinem anderen Intervall liegen...
stümmt's?
- soopa...
- ich meine: in keinem anderen Intervall, das entsprechend gebildet wurde...
- wenn du schon das Intervall (0;2) hattest, dann kann weder links noch rechts das Intervall (0;1,5) kommen... wegen der Monotonie... stümmt's?
- nich „von“... kicher
- ich meinte: weder rechts noch links von der Unstetigkeitsstelle, der wir die rationale Zahl 1 zugeordnet haben, kann eine Unstetigkeitsstelle kommen, der das Intervall (0;1,5) zugeordnet wird...
- die Funktion ist ja monton... egal ob monton fallend oder monoton wachsend... die beiden Fälle solltest du vllt zur Übung mal einzeln betrachten... Fall-Unterscheidung macht Spaß... oder du behauptest einfach, dass es ohne Beweis klar ist, dass es für beide Fälle gilt...
- soopa :)
- ja... „ohne Beschummelung des Auditoriums“ oder was das nochmal hieß... LOL
Du hast recht, es ist nur Monotonie und keine strenge Monotonie gefordert.