Frage zu bijektiver Abbildung?
f: Z_m -> Z_m; x |-> k*n mod m <=> f bijektiv wenn ggT(k, n) = 1
Um Bijektivität zu zeigen, reicht es hier Injektivität zu zeigen
k*n_1 kongurent k*n_2 mod m <=> m | k * (n_1 - n_2) (Voraussetzung)=> m | n_1 - n_2
Bis hierhin komme ich. Anscheinend ist das schon genug um Injektivität zu zeigen, sehe aber nicht warum. Weiß jemand weiter?
4 Antworten
m | n_1 - n_2
Das bedeutet, dass n₁ ≡ n₂ (mod m).
Bei Injektivität ist zu zeigen, dass n₁ ≡ n₂ (mod m) aus kn₁ ≡ kn₂ (mod m) folgt.
aber natürlich XD
war gerade nochmal verwirrt wegen der kongurenz n₁ ≡ n₂ (mod m)
aber genau das haben wir ja hier, die Funktion selbst enthält mod m, passt dann, danke :)
f: Z_m -> Z_m; x |-> k*n mod m <=> f bijektiv wenn ggT(k, n) = 1
Da ist ein ziemliches Durcheinander mit m, x, k und n, das man zuerst mal klären sollte. Ich tippe auf x |-> x*n mod m mit ggT(m, n) = 1.
Dann wäre aus x1 * n = x2 * n (mod m) zu folgern, dass x1 = x2 (mod m).
x |-> k*n
Du meinst wohl n |—> k*n, denn sonst ist die Funktion konstant (in der Vorschrift kommt kein x vor) und nicht bijektiv.
ggT(k, n) = 1
Du meinst wohl ggT(k, m) = 1, denn sonst kannst du
m | k * (n_1 - n_2) (Voraussetzung)=> m | n_1 - n_2
nicht schreiben (m könnte ja sonst k teilen).
m | n_1 - n_2
ist äquivalent zu n₁≡n₂. Das war zu zeigen.
:)
Die Abbildung und Notation ist am.nettesten interpretiert schwubelig
Mu_k: x mapsto kx (mod m)^-1= k *^(Zm) x
Mu_ k ist ein Gruppenhomo auf Zm + also ein endo auf einer zyklischen Gruppe - der offensichtlich ist ist falls Mu_k(1) wiede R ein Erzeuger von Zm ist. Bzw iso weil Endlich, Endo und injektiv