Man zeige, dass wenn f und g injektiv sind, dann ist auch g◦f injektiv?

Wie würdet ihr bei dieser Aufgabe vorgehen? Ich komme leider nicht mal auf einen Ansatz....

Answer 1

[Jangler13]

Eine Funktion f ist injektiv, wenn f(x) = f(y) => x=y gilt.

Nimm als an, dass g(f(x)) = g(f(y)) gilt, für bestimmte x und y aus A.

Nutze nun die injektivität von g, und dann die von f um zu folgern dass x=y gilt. (Dies musst du nun selbst machen)

Somit ist g verkettet mit f injektiv

Comments

[LuisBuzZ]

Okay danke reicht es dann zu zeigen, dass f(x) = f(y) ---> x=y? Also:

g(f(x)) = g(f(y)) ---> x = y

Da x und y von f abhängig sind, spielt es keine Rolle ob g injektiv ist oder nicht. Außerdem wissen wir, dass f injektiv ist:

f(x) = f(y) ---> x = y

[Jangler13]

@LuisBuzZ

Sei f(x) = x (also einfach die Identitätsabbildung) und g(x) = x^2

Ist g(f(x))? Injektiv? f ist ja injektiv

[LuisBuzZ]

@Jangler13

g(f(x)) = x^2 also nein verdammt aber ahhh dann muss ich es andersrum schreiben oder?:

g(f(x)) = g(f(y)) ---> x = y

Da g(x) injektiv ist, spielt es keine Rolle ob f(x) injektiv ist oder nicht.

g(x) = g(y) ---> x = y

Damit muss g(f(x)) = g(f(y)) ---> x = y injektiv sein, wenn g und f injektiv sind.

[Jangler13]

@LuisBuzZ

Sei g(x)=x und f(x) = x^2

Und was nun?

Es ist hier wichtig, dass BEIDE Funktionen injektiv sind.

Tipp: wenn g(f(x)) = g(f(y)) gilt, wass muss dann für f(x) und f(y) gelten, da g injektiv ist?

[LuisBuzZ]

@Jangler13

ahhh ja okay dann muss gellten f(x) = f(y) und da das gegeben ist, ist f°g okay gut jetzt hab ichs :D

[LuisBuzZ]

@LuisBuzZ

g(f(x_1)) = g(f(x_2)) ---> f(x_1) = f(x_2) ---> x_1 = x_2

[Jangler13]

@LuisBuzZ

Richtig :)