Taylorpolynom 4. Ordnung?

Heißt das ''4. Ordnung'', dass ich bis zum 4. Glied der Taylorreihe rechne? Oder am Ende ein Taylorpolynom 4. Grades habe, also bis zum 5. Glied der Taylorreihe rechne?

Answer 1

[mihisu]

Bei einem Taylorpolynom 4. Ordnung bezieht sich das „4. Ordnung“ quasi auf den Grad des Polynoms. Es handelt sich also um ein Polynom mit (höchstens) Grad 4. [Bzw. müsste es eigentlich „höchstens Grad 4“ heißen, da es auch sein kann, dass es zufälligerweise keinen Summanden mit Exponent 4 gibt, da der entsprechende Koeffizient gleich 0 ist.]

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Genauer gesagt ist das Taylorpolynom n-ter Ordnung einer Funktion f um eine Stelle x₀ als

$\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_0\right)}{k!}\,\left(x-x_0\right)^{k}$

definiert. Dabei wird n nun eben die „Ordnung“ des Taylorpolynoms genannt.

„Ordnung 4“ bedeutet dann also, dass man...

$f\left(x_0\right)+f'\left(x_0\right)\cdot \left(x-x_0\right)+\frac{f''(x_0)}{2}\cdot \left(x-x_0\right)^2+\frac{f'''(x_0)}{6}\cdot \left(x-x_0\right)^3+\frac{f''''(x_0)}{24}\cdot \left(x-x_0\right)^4$

... betrachtet, also die Taylorentwicklung bis einschließlich zum Term f′′′′(x₀)/24 ⋅ (x - x₀)⁴ durchführt.

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Betrachten wir beispielsweise die Reihenentwicklung der cos-Funktion an der Stelle 0...

$\cos\left(x\right)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6+\frac{1}{40320}x^8-\frac{1}{3628800}x^{10}+\ldots$

Hier wäre das Taylorpolynom 4. Ordnung...

$1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4$

Wenn du 1 als erstes Glied, -1/2 x² als zweites Glied, 1/24 x⁴ als drittes Glied, -1/720 x⁶ als viertes Glied, und so weiter, betrachten würdest, dann geht das Taylorpolynom nicht bis zum vierten Glied. Das Taylorpolynom 4. Ordnung ist dann nicht

$1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6$

Answer 2

[evtldocha]

Das n-te Taylorpolynom heißt nach meinem Verständnis "bis zur n-ten Ableitung" am Entwicklungspunkt entwickeltes Polynom". Wenn sich dabei einige Koeffizienten zu 0 ergeben, bleibt es das n-te Taylorpolynom, obwohl es nur ein Polynom kleineren Grades sein kann (auch darin steckt ja eine Information).

Insofern würde ich auch die Begriffe "Ordnung des Taylorpolynoms" und "Grad des Taylorpolynoms" an dieser Stelle unterscheiden.

Comments

[ganjaHater]

Danke, das ist nachvollziehbar