Kann man mit der Ableitung normal rechnen?
Ich hab eine Funktion mit dem Polynom 4. Grades , sie fängt so an :
x^4 + x³ .....
Kann ich das einfach ableiten bis vorne
x² ...
steht? Und dann damit weiter rechnen, also die Linearfaktorzerlegung machen? Oder wäre das falsch?
Was ist die Aufgabe?
(x² + 2x + 2)²
Hiervon die Linearfaktorzerlegung machen.
Polynomdivision Geht leider nicht, da es keine Nullstellen gibt (mit Online-Rechner nachgeprüft)
3 Antworten
Die Linearfaktorzerlegung der Ableitungsfunktion ist nicht die Linearfaktorzerlegung der ursprünglichen Funktion. Also wäre das falsch.
Wenn die Funktion keine reellen Nullstellen hat, kann man im Reellen auch keine Linearfaktoren abspalten und die Funktion somit auch nicht in Linearfaktoren zerlegen. Man kann das Polynom dann nur in ein Produkt aus quadratischen Funktionen zerlegen, so wie es bereits gegeben ist. Für eine Linearfaktorzerlegung müsste man hier mit komplexen Zahlen arbeiten. Die Funktion hätte dann jeweils eine doppelte Nullstelle bei -1 -i und bei -1 + i und die Linearfaktorzerlegung wäre gegeben durch f(x) = (x - (-1 -i))²(x - (-1 + i))².
Es gibt keine reellen Nullstellen, aber komplexe gibt es immer, die man hier finden muss. Man hat bereits die Faktorisierung f(x) = (x² + 2x + 2)². Man muss nur die Nullstellen von x ↦ x² + 2x + 2 finden, weil das Quadrat dann auch null ist. Die quadratische Gleichung löst man wie üblich.
x² + 2x + 2 = 0 ⇔ x² + 2x + 1 = -1 ⇔ (x + 1)² = -1 ⇔ x + 1 = ±i ⇔ x = -1 ± i
Das Ausmultiplizieren wäre hier ein Schritt in die falsche Richtung.
(x² + 2x + 2)² ist ja (x² + 2x + 2)*(x² + 2x + 2)
D. h. du hast das Polynom ja bereits in zwei Faktoren zerlegt vor dir. Es wäre also völlig kontraproduktiv, da jetzt etwas auszumultiplizieren, dadurch gewinnst du jetzt gar nichts.
Du musst "einfach" (x² + 2x + 2) in Linearfaktoren zerlegen, das hast du dann zweimal, mehr nicht.
Und um die (komplexen) Nullstellen zu berechen, benutzt du genau die gleichen Formeln wie für die reellen, nur mit dem Wissen, dass eben Wurzel aus -1 gerade i ist. Damit hast du:
Die beiden Linearfaktoren sind damit (x-(-1+i)) und (x-(-1-i)), d. h.
x² + 2x + 2 = (x-(-1+i)) * (x-(-1-i))
Damit ist dann
(x² + 2x + 2)² = (x² + 2x + 2) * (x² + 2x + 2) = (x-(-1+i)) * (x-(-1-i)) * (x-(-1+i)) * (x-(-1-i))
Das war's.
Wenn es bei + und - bleibt, kannst du einfach ableiten. Bei mal, geteilt etc, brauchst du eben entsprechende Regeln
Ja es geht um komplexe NS.
Wie bist du genau zu dem Ergebnis gekommen? Also die Klammer mit sich selbst multiplizieren?
da kommt dann x^4 +4x³ + 8x² +8x +4 raus. Und dann? Nullstelle hab ich ja keine.