Taylorreihenentwicklung?

Hallo Community

Es wäre echt nett, wenn mir jemand bei def folgenden Matheaufgabe helfen könnte:) :

Die Funktion f(x)= In(1-x) ist angegeben. Man soll nun am Entwicklungspunkt f0=0 eine Taylorreihentwicklung der Funktion f(x) bis zum 3 nicht verschwindenden Glied durchführen. Von der Taylorreihe habe ich schon gelesen, weiß leider aber trotzdem nicht, wie diese Aufgabe zu lösen ist.

Ich freue mich besonders über ausführliche Antworten!😊

Answer 1

[PWolff]

Das Wichtigste ist, die Ableitungsfunktionen zu bestimmen.

Da nur das erste nichtverschwindende Glied gesucht ist, gehst du am besten schrittweise vor:

Funktionswert an der Entwicklungsstelle 0 berechnen

Ungleich null? Dann fertig.

Sonst:

Erste Ableitung bestimmen

Funktionswert der ersten Ableitung an der Entwicklungsstelle 0 berechnen

Ungleich null? Dann fertig.

Sonst:

Dasselbe mit der zweiten Ableitung.

Usw.

Zuletzt mit dem passenden Faktor (1/n!) und der passenden Potenz von x (x^n) multiplizieren.

Answer 2

[Psyfe]

Die Taylorreihe T ist für eine Funktion f so definiert: $T\left(x\right)=f\left(x_0\right)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_0\right)}{k!}$

dort musst du nun einsetzen.

Comments

[Sky168]

Mich verwirrt vor allem die Formulierung bis zum nicht verschwindenden Glied in der Aufgabenstellung. 🫤 Was ist damit gemeint?

[PhotonX]

@Sky168

Wenn eine der Ableitungen am Entwicklungspunkt Null wird, verschwindet der entsprechende Summand der Taylorreihe.

Zum Beispiel bei der Taylorreihe des Sinus im Entwicklungspunkt 0 verschwinden alle geraden Ableitungen und somit alle Geraden Potenzen. Wenn man hier bis zum dritten nicht verschwindenden Glied entwickeln soll, dann wären das die Glieder der 1., 3. und 5. Ordnung (da die Glieder 2. und 4. Ordnung eh verschwinden).