Taylorreihen?
Hi, ich verstehe nicht ganz, wie man bei Taylorreihen bestimmt, dass der Rest der Reihe für n gegen unendlich gegen 0 konvergiert. Ich habe das Beispiel der Funktion f(x) = ln (1 + x), Entwicklungspunkt: x = 0 und das Intervall I (-0,5, 1]. Es ist nicht gegeben welchen Grad die Reihe haben muss, also habe ich Grad 3 genommen. Dann bekomme ich: x - 0,5 x^2 + (1/3) * x^3 + R. Nun muss ich noch den Rest R bestimmen und herausfinden ob dieser für n gegen unendlich gegen 0 konvergiert. Dafür hat man die Formel lim n gegen unendlich R(x) = (f^(n+1)(xi) / (n+1)!) * x. Wie gehe ich nun weiter vor??
1 Antwort
R(x) = (f^(n+1)(xi) / (n+1)!) * x
Wenn du mit xi den Buchstaben ξ und x noch mit n+1 potenzierst, also x^(n+1) statt x schreibst, dann ist es die Formel für das (Langrange'sche) Restlglied, korrekt.
Die 4. Ableitung von ln(ξ+1) ist
– 6 / (ξ + 1)^4
und damit gilt für
(– 6 / (ξ + 1)^4) / (n + 1)! * x^(n+1)
wegen x ∈ (–0.5, 1] und ξ ∈ (–0.5, 1), also insbesondere |x| ≤ 1 und ξ > –0.5, die Ungleichungskette
0 ≤ | (–6 / (ξ + 1)^4) / (n + 1)! * x^(n+1) |
= (6 / (ξ + 1)^4) / (n + 1)! * |x|^(n+1)
< (6 / (–0.5 + 1)^4) / (n + 1)! * |x|^(n+1)
= 96 / (n + 1)! * |x|^(n+1)
≤ 96 / (n + 1)! * 1^(n+1)
= 96 / (n + 1)!
—> 0 (n —> ∞)
Also ist geht das Restglied nach dem Einschließungskriterium tatsächlich gegen Null. Der Betrag vereinfacht alles, aber da der Grenzwert null ist, ändert er nicht den Grenzwert.