Polynomfunktion n-ten Grades aus 28 Punkten?
1) Kann ich eine Polynomfunktion n-ten Gerades aus 28 gemessenen Punkten bestimmen?
Das wäre doch im Prinzip eine Steckbriefaufgabe mit 28 Bedingungen, aber das würde ja ein utopisches Gleichungssystem geben...
2) Gibt es dafür ein Programm, was das vielleicht automatisch rechnen kann, also wo ich die Punkte einpflege und es mir die Funktion ausspuckt?
Excel spuckt mir da auch ganz komische Funktionen aus, die, wenn ich sie in GeoGebra eingebe, nicht annähernd in der Nähe der Punkten liegen...
4 Antworten
Polynominterpolation ist ein großes Themengebiet für sich. Bei n + 1 Punkten hat man im Allgemeinen ein Polynom n-ten Grades. Das Bestimmen der Koeffizienten der Normalform
und dann die Verwendung dieser für die Auswertung ist nicht das effizienteste Verfahren.
Passender ist die Newton-Darstellung zu gegebenen Stützpunkten.Beispiel: Die Newton-Darstellung von y = x² + 2x + 1 zu den Stellen 1, 3 und 4 wäre
y = 4 + 6(x - 1) + (x - 1)(x - 3)
Der Vorteil ist, dass das Gleichungssystem dann in Stufenform vorliegt, da wenn man eine Stützstelle einsetzt, die weiteren Summanden verschwinden.
Mit der Lagrange-Darstellung kann man ein Polynom direkt angeben; sie eignet sich aber nicht so gut für die Auswertung. Mit Nevilles Algorithmus werden direkt weitere Funktionswerte berechnet ohne einen Term aufzustellen.
1) Kann ich eine Polynomfunktion n-ten Gerades aus 28 gemessenen Punkten bestimmen?
Ja es wäre möglich. Jedoch wäre es dann sinnvoller einen Algorithmus zur Bestimmung der Lösung zu benutzen, statt das entstehende LGS zu lösen.
Zum Beispiel bietet sich der Neville Algorithmus an:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Neville%27s_algorithm
Den kann man zum Beispiel mit Python relativ einfach implementieren.
Bist du dir aber sicher, dass du wirklich eine Interpolation haben willst? Bei sehr vielen Punkten ist es nicht wirklich sinnvoll, da die resultierende Funktion zwar die an den gegebenen Punkten gut passt, aber in den Zwischenräumen sehr stark abweichen kann. Splines oder Regressionen wären da sinnvoller.
Du kannst in WolframAlpha in den "interpolating polynomial calculator" die Punkte eingeben und erhältst dann eine Funktion der diese Punkte beinhaltet. https://www.wolframalpha.com/input/?i=interpolating+polynomial+calculator
Benutz TableCurve. Oder einfache lineare Regression mit modifizierten Daten
Dankeschön für die Antwort. Kann man da auch Kommazahlen eingeben oder nur ganze Zahlen?
Man trennt ja unglücklicherweise den x und y Wert durch ein Komma