Taylorpolynom maximalen Grades?
Normal steht da grad 8 oder so. Jetzt steht da maximalen Grades
was meint man damit
Hier
Wo steht das ?? Wie kommst du darauf, dass irgendjemand deine Frage sinnvoll beantworten kann, wenn du deinen Originaltext nicht als Bild mit dazu postest?
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Bitte stelle die komplette Aufgabe als Bild ein, ohne jegliche Interpretation deinerseits.
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2 Antworten
Wenn du die Funktion, die du mittels Taylorpolynom entwickeln sollst, n-mal differenzierbar ist, dann hat das Taylorpolynom maximal den Grad n.
Manchmal auch den Grad n–1 (aber das ist nicht der maximale Grad), um die Resglieddarstellung von Lagrange nutzen zu können.
Du musst also schauen, wie oft die zu entwickelnde Funktion differenzierbar ist. Wenn du die konkrete Aufgabe (am besten als Bild) nachtragend hochlädst, kann ich dir auch konkreter helfen.
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Nachtrag:
Da es sich um ein Polynom handelt, ist es streng genommen unbeschränkt oft differenzzierbar (ab der vierten Ableitung nur eben konstant null, aber eben differenzierbar). Nach der Formel wäre das Taylorpolynom auch gleich der Reihe. Dennoch ist es sinnvoll zu sagen, dass das Tylorpolynom den Grad Drei hat. Wir bestimmen es nun.
Zuerst berechnen wir die Ableitungen zu f(x) = –2 x³ + x² + 4 x + 1:
- f'(x) = –6 x² + 2 x + 4
- f"(x) = –12 x + 2
- f"'(x) = – 12
- f""(x) = 0
- ...
a) Mit der Formel für das Taylorpolynom von Grad n (wobei wir n=3 gesetzt haben) und Entwicklungspunkt x0=0 erhalten wir dann
T_3(x) = f(0) + f'(0) x + ½ f"(0) x² + ⅙ f"'(0) x³
T_3(x) = 1 + 4 x + x² + (–2) x³
wie es zu erwarten war (Polynome - also auch das Taylorpolynom - sind genau dann gleich, wenn die Koeffizienten der jeweiligen veränderlichen Potenz identisch sind).
Das selbe nochmal für b), nur mit dem Entwicklungspunkt x0=1, also
T_3(x) = f(1) + f'(1) (x–1) + ½ f"(1) (x–1)² + ⅙ f"'(1) (x–1)³
T_3(x) = 4 + 0 + (–5) (x–1)² + (–2) (x–1)³.
Und fertig :)
Da steht eine Funktion Dritten Grades. Berechne mal den Taylorkoeffizienten der Ordnung vier.
Hinweis: eine ganzrationale Funktion vom Grad n ist ihr eigenes Taylorpolynom vom Grad n.
Jetzt ist eins dA