Es ist ratsam zunächst eine Dreiecksmatrix über die 17 Spielpläne anzulegen.

Dann erweitert man diese Dreiecksmatrix um zwei Spalten und zwei Zeilen und verschiebt jeweils ein einziges Spiel in eine der beiden neuen Spalten. Als nächstes nimmt man den jeweils anderen neuen Partner, Köln bzw. Schalke, und generiert das zusätzliche 10. Spiel im Spielplan. Wenn man das 17 mal durchdekliniert hat, werden die 20 frei gewordenen Plätze in der Dreiecksmatrix mit den Einträgen für die Spielpläne des 18. und 19. Tages besetzt.

Auf diese Weise wurden folgende Spielpläne gewonnen.

Die Geradengleichung hast Du ja schon mal richtig ausformuliert. Du hast einen Anfang gemacht. Darum wird Dir hier auch geholfen. Dann aber verwendest Du nur einen Teil (den mit dem Parameter s behaftete Teil) der Ebenengleichung und versuchst über ein Skalarprodukt herauszufinden, ob die Gerade parallel zur Ebene verläuft oder ob die Gerade anderenfalls die Ebene durchstößt.

Um das herauszubekommen musst Du den Normalenvektor der Ebene verwenden. Dieser steht immer senkrecht auf der Ebene und muss erst aus der Parametergleichung bestimmt werden. Die hellblaue Ebene (dargestellt ist nur ein Teil der in Wirklichkeit unendlich großen Ebene) wird aufgespannt durch zwei Vektoren, die entlang der Kanten der hellblauen Abbildung verlaufen. Zur Bestimmung des Normalenvektors muss darum ein Vektorprodukt der beiden aufspannenden Vektoren gebildet werden.

Dann erst kann dieser Normalenvektor (2 | 2 |-2) verwendet werden um über ein Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor der Geradengleichung herauszubekommen, ob sie rechtwinklig zueinander stehen.

Es kommt ein Ergebnis ungleich 0 heraus. Somit stehen Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor nicht senkrecht aufeinander. Demnach muss die Gerade irgendwo ausserhalb des hellblau dargestellten Ausschnitts durchstoßen.

Diesen Durchstoßpunkt p_c findest Du einfach durch Gleichsetzung der Geradengleichung mit der Ebenengleichung

was zu folgendem Gleichungssystem führt.

Von der Auflösung brauchen wir nur den Parameter t=5/3 um über die Geradengleichung wieder zum Durchstoßpunkt zu gelangen.

Der Durchstoßpunkt liegt an der Stelle (31/3 | 1 | 19/3)

Ausgehend von dem Ausdruck für den Betrag der Kraft D_2

fordert man einfach für den neuen Winkel alpha_2 die doppelte Kraft und formuliert das auch so aus. Die Auflösung nach alpha_2 liefert dann 2,5°, also den halben Winkel.

Das mag auf den ersten Blick überraschen. Aber die Sinus- bzw. Arkussinusfunktion sind im Bereich kleiner Winkel noch fast linear

Der Taschenrechner gibt immer die so genannten Hauptwerte der Arkusfunktionen zurück.

arcsin: -90° .. +90°

arccos: 0° .. 180°

arctan: -89,9999..° .. +89,9999..°

Manche Programmiersprachen, auch Excel, bieten die Funktion ATAN2. Dort kann man zwei Variablen übergeben und zwar den Zähler- und den Nennerwert eines Bruches, der einen Steigungswert repräsentiert. Auf diese Weise kann dann bestimmt werden in welchem Quadrant ein Zeiger bzw. ein Ortsvektor liegt. Auf diese Weise kann dann ein Vollkreis im Bereich von 0° bis 360° bzw von -180° .. +180° abgebildet werden. Sehr nützlich.

Man kann es gut lesen und wenn sich jemand schon mal Gedanken gemacht hat, dann hilft man ja gerne. Musst im Zweifel auch einfach mal Zwischenschritte kontrollieren. Hier die Lösung:

Wenn Du die Zeichung etwas umzeichnest wird schnell klar, dass Du eigentlich zwei unabhängige Spannungsteiler hast.

Hier sieht man mit dem bloßen Auge, dass U_OUT = U_1 - U_2 gilt. Und die Einzelspannungen an den Widerständen R2 und R1 errechnest Du einfach nach der Spannungsteilerregel

Womit die Ausgangsspannung als Differenz ausformuliert werden kann.

Wenn nun doch alle Widerstände der Nummerierung 1, 2, 3 gleich sein sollen erhält man.

Die Ausgangsspannung verschwindet, wenn die Differenz verschwindet. Da die Zähler beider Brüche ohnehin schon gleich sind, muss man nun fordern, dass die Nenner beider Brüche auch gleich sind.

Womit R_k bestimmt ist.

Wenn wirklich nur die Ebenengleichungen der vier Flächen eines Tetraeders gefordert sind, dann hat man in Wahrheit sieben frei wählbare Parameter.

 für die Mittelpunktslage des Tetraeders,

s

für die Kantenlänge des Tetraeders

 für den Rollwinkel, den Nickwinkel und den Gierwinkel der räumlichen Orientierung des Tetraeders. D.h. um diese Aufgabe wirklich in voller Allgemeingültigkeit zu erledigen müsste man sich zuallerst um Drehtransformationen kümmern. Wenn man allerdings die vier Eckpunkt A, B, C und S bereits hat, dann kann man wirklich mit der bereits beschriebenen Methode

A+r•(B-A)+s• (S-A)

eine Ebenengleichung in Parameterform für zunächst eine Fläche ausformulieren. Das wäre korrekt. Sicherheitshalber sollte man aber zuvor prüfen, ob es sich wirklich um einen Tetraeder handelt. Alle sechs Abstände müssen gleich sein.

Zur Auffindung einer initialen Nullstelle empfehle ich die Erweiterung des Funktionsterms mit dem Faktor 100. Dann erhälst Du

Hier findest Du die Nullstellen x = -1 und x = 8

Somit könntest Du folgenden Ansatz für die Polynomdivision machen:

Oder alternativ in der Originalfunktion:



Das müsste dann auch "aufgehen" ohne Rest.

Es wird alternierend addiert und multipliziert und zwar mit einem inkrementierenden Operanden

3 * 1 = 3

3 + 2 = 5

5 * 3 = 15

15 + 4 = 19

19 * 5 =95

95 +6 = 101

101 * 7 = 707

Zur Lösung der Aufgabe 3 brauchst Du eine Vierfeldertafel.

Die Wahrscheinlichkeit einer Verfärbung beträgt 4%. Die Wahrscheinlichkeit einer Eindellung ist zunächst unbekannt. Bekannt ist aber die Wahrscheinlich, dass beide Fehler gleichzeitig auftreten. Somit beträgt Wahrscheinlichkeit für gleichzeitiges Auftreten beider Fehlerfälle 0,2%



Daraus kann die Wahrscheinlichkeit für Eindellungen p_2 leicht berechnet werden.

 Es sind 5%

Die Wahrscheinlich für das Auftreten von genau eines von beiden Fehler entspricht der Fläche, der beiden unbeschrifteten gelben Flächen und kann mit folgender Formel berechnet werden:

 Es kommt 8,6% heraus.

Addiert man zur Kontrolle noch die Fälle, wo beide Fehler vorkommen (gesamte gelbe Fläche) dann erhält man 8,8% was bereits in der Aufgabenstellung erwähnt wurde.

Zur Beantwortung der letzten Frage musst Du Dich mit der Binominalverteilung befassen

Das Fehlen einzelner Variablen in einigen Zeilen eines Gleichungssystems erschwert nicht die Lösungsfindung, sondern erleichtert es sogar. Du musst einfach nur von der Möglichkeit gebrauch machen, dass Du nach Belieben Zeilen vertauschen darfst und sogar Spalten vertauschen darfst. Auf diese Weise kann allein schon durch Vertauschungsoperationen ein Gleichungssystem in die Nähe der Zeilenstufenform gebracht werden. Beispielsweise brauchte bei dem System 5a) nur eine einzige Zeilendiffererenz gebildet zu werden.

Doch, das Bild stimmt. Wenn das elektrische Wechselfeld und das magnetische Wechselfeld einer EM-Welle um 90° phasenverschoben wären, dann könnte eine solche Welle keine Energie transportieren. Beide Felder müssen schon phasensynchron sein und sind es auch. - Eine Ausnahme stellt das Nahfeld einer Antenne dar. Dort kann es durchaus zu lokalen Phasenverschiebungen kommen. Aber nach zwei bis drei Wellenlängen Abstand von der Antenne ist alles schön phasensynchron.

Das fühlt sich nicht nur so an. Das ist auch so. So gibt es eine Bibelstelle im Römerbrief 1,20, die genau davon spricht, dass man IHN, also Gott, an seinen Werken erkennen kann.

Denn sein unsichtbares Wesen – das ist seine ewige Kraft und Gottheit – wird seit der Schöpfung der Welt, wenn man es mit Vernunft wahrnimmt, an seinen Werken ersehen. Darum haben sie keine Entschuldigung.

Die schriftliche Division für diesen Fall, in dem der Divisor grösser ist als der Dividend funktioniert nach folgenden Schema:

Die 200 "passt" 0 mal in die Zahl 4. Dafür notiert man die grüne Null gleich mit einem Komma, weil ein Ergebnis kleiner 1 erwartet wird. Nun wird diese Null mit 200 multipliziert, was natürlich wieder eine grüne Null unter der "4" ergibt. Auf diese Weise gewinnt man den Zwischenrest "4", der mit einer Null erweitert die "40" ergibt.

Nun wir geprüft wie oft die 200 in die 40 passt. Auch null-mal. Man notiert die blaue Null und multipliziert wiederum 0 mal 200 mit dem Ergebnis der blauen Null unter der 40.

Es kommt zum Zwischenrest 40, der erweitert 400 ergibt. Nun endlich kann 400 restlos gegen 200 dividiert werden. Mit dem Ergebnis: 2.

Der erste Integrand kommt mir bekannt vor. Es ist das Volumeninfinitesimal einer Kugel. Leider ist es nicht richtig sauber formuliert. Die Untergrenze des innersten Integrals hat nur den griechischen Buchstaben gross_theta abbekommen aber nicht den obligatorischen Zahlenwert. Ich war so frei und habe hier den Wert 0 angesetzt.

Sollte die Untergrenze wirklich nur mit gross-theta markiert werden, dann müsste das Integral so interpretiert werden, dass gross-theta variabel bleiben soll. Dann müsste man von der Anschauung ausgehen, dass das Volumen einer Kugel mit Kegelausschnitt berechnet werden soll. Ist das hier verlangt?

Die Berechnung einer Vollkugel gestaltet sich so:

Berchnung des innersten Integrals und parallel Berechnung des letzten Integrals

Der Integrand enthält kein phi. Darum darf der Faktor 2*pi eingeführt werden. Die weiteren Rechenschritte sollten nachvollziehbar sein.

Kürzen der roten Faktoren führt zu folgenden Zahlenwert:

Hier würde mich interessieren, wodurch dieses bestimmte Integral motiviert ist? Gibt es einen physikalisch-technischen Hintergrund, der zu so einem Ergebnis führt?

Im 1. Buch Mose 1,27 heisst es: Und Gott schuf den Menschen zu seinem Bilde, zum Bilde Gottes schuf er ihn; und schuf sie als Mann und Frau.

Darum ist die Antwort ganz einfach. Die LGTBQ+ Leute stellen sich mit ihrer Kernaussage mit voller Absicht gegen das Wort Gottes. Das ist im Grund nichts anderes als Rebellion.

Dabei wäre ich durchaus bereit mit ihnen über die eine oder anderer Entgleisung der Natur zu reden. Aber gleichzeitig erlebe ich bei dieser Ideologie eine geradezu orthodoxe Intoleranz gegenüber jeden der anders denkt. Am liebsten würden sie mit dem Hammer der Strafprozeßordnung jeden mundtot machen, der etwas anderes überhaupt wagt zu denken.

Die Ergebnisse in Deiner Stromknotenbetrachtung sind alle richtig.

Für die Berechnung der Teilspannungen in der anderen Schaltung reicht allerdings die Anwendung der Maschenregel allein nicht aus. Zur besseren Übersicht habe die Schaltung umgezeichnet.

Man findet für 15 unbekannten Spannungen ingesamt 10 Maschengleichungen:

Darum muss entweder zusätzlich die Knotenregel zur Anwendung kommen. Oder man verwendet die Spannungsteilerregel. Dafür muss man sich über die beteiligten Widerstände Klarheit verschaffen. Die Zeichnung legt die Aufteilung in 4 Teilwiderständen in Subnetzteilen nahe. Hier die Berechnung der Widerstandnetzwerke.

Nun erst gelingt die Berechnung der Teilspannungen nach der Spannungsteilerregel. Billiger ist das nicht zu haben.

Eigentlich nicht zumutbar für einen Physiktest. Ist dem Lehrer das klar?

Um diese Frage zu beantworten müssten wir schon ein bißchen mehr über die Architektur dieser ALU wissen. Besonders der Satz

Bei einer N-Bit ALU wie aus der letzten Aufgabe werden die Steuerleitungen EN A, EN B, F0 und F1, INV A aller N 1-Bit ALU's verbunden.

lässt hoffen, dass die zitierte letzte Aufgabe ja ein paar Hinweise enthält, die wir gut gebrauchen könnten.

Hier meine unvollständige Lösung. "*" bedeutet beliebige Einstellung. Habe aber keine Ahnung wie die B-A Differenz bzw. wie -A programmiert wird. Auch Bedeutung der Konstanten verstehe ich nicht.

Aber wie komm ich auf die Ergebnisse?

Dir bleibt nichts anderes übrig als die Simulation Deiner ALU. Geht sehr gut mit Octave oder Excel. Du programmierst die komplette ALU in Excel nach. Hier das Funktionsschema mit Abkürzungen.

Unter folgendem link findest Du meine Excel Ausarbeitung. Aktuell ist die Funktion "A+B" eingestellt. Du kannst an den Variablen A, B, Cin, Output, CarryOUT das Bitmuster eines Volladdierers nachvollziehen. Alle anderen Funktionen kannst Du nach Belieben dort einstellen.

ALU-Simulator

Du mußt doch nur ablesen! Habe als Hilfestellung die zugehörigen Funktionen mal neben das Symbol geschrieben. "≧1" steht für "oder" bzw. "∨". Und das kaufmännische "&"-Symbol steht für "und" bzw. "∧". Der kleine Kreis am Eingang eines Verknüpfungssymbols steht für Negation.

Und bei der Wertetabelle brauchst Du nur alle 8 logischen Kombination zu notieren, was einem binären Zählen gleichkommt. Zusätzlich empfehle ich die zwei Spalten für die Zwischenfunktionen anzulegen. Dann brauchst Du nur jeden Fall durchzuspielen.

Bevor ich die Lösung für das Pendel mit der 1/3 Aufhängung hier präsentiere, möchte ich zuvor noch in Erfahrung bringen wie denn der maximale Ausschlagwinkel mit einem Pendel mit oberster Aufhängung gerechnet wird.

Meine Meinung nach ist die Bestimmung des Drehimpulses völlig überflüssig. Man kommt meiner Meinung nach mit den Energieerhaltungssatz völlig aus. Die anfängliche kinetische Energie beträgt.

Diese Energie verteilt sich danach in zwei potenzielle Energien. Die potenzielle Energie des Stabes

und die potenzielle Energie des Knetballs

Damit kann der Ausschlagwinkel berechnet werden.

Und wenn die Masse M des Pendels und stattdessen nur das Trägheitsmoment des Pendels bekannt ist, dann geht auch folgende Darstellung:

In keinem Fall ist die Betrachtung eines Drehimpulses vonnöten. Soll denn die Berechnung der 1/3 Aufhängung in diesem Format erfolgen?

Berechung für die 2/3 Aufhängung: