Pilot, analytische Geometrie Aufgabe!?
Bei schlechter Sicht ermöglicht das Instrumentenlandesystem (ILS) dem Piloten, das Flugzeug im Endanflug exakt auf der sog. ILS-Geraden bis zum Aufsetzen auf einer Landebahn zu steuern. Bei den folgenden Teilaufgaben wird ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde gelegt, bei dem der Ursprung im Tower des Flughafens liegt (x-Achse nach Osten, y-Achse nach Norden). Alle Zahlenwerte sind km-Angaben. Kurz vor Beginn des Landeanflugs kann die Bahn des Flugzeugs durch die Gerade beschrieben werden
A). Beschreiben Sie die Ebene, in der sich das Flugzeug bewegt.
Problem/Ansatz:
ich weiß nicht wie ich das beschreiben soll. mein lehrer meinte, dass man auch eine Ebenengleichung erstellen soll, dann die Parameter, normalen, und koordinatenform machen soll und dann den normalen vektor mit dem Ortsvektor vergleichen soll.
bitte helfen,.... bitte. ich habe nicht verstanden warum, und wie ich das dann mache. wiel eine ebenengleichung braucht man doch noch ein richtungsvektor ????
3 Antworten
Um die Ebene, in der sich das Flugzeug bewegt, zu beschreiben, brauchst du tatsächlich eine Gerade und einen zusätzlichen Richtungsvektor, der die Richtung der Bewegung in einer anderen Dimension beschreibt. Da die Gerade, die du hast, nur in zwei Dimensionen definiert ist (x und y), müssen wir eine zusätzliche Bedingung hinzufügen, um die Ebene zu definieren.
Die Gerade h ist gegeben durch:
h : x = (-38,4, -0,8, 1,5) + s (256, -64, 0)
Da die Bewegung des Flugzeugs in der dritten Dimension (Höhe) konstant bleibt (z-Komponente bleibt 1,5), können wir einen weiteren Richtungsvektor nehmen, der diese Dimension beschreibt. Ein geeigneter Vektor könnte die z-Richtung ohne Änderung in x und y sein, also:
(0, 0, 1)
Eine Ebene kann durch einen Punkt und zwei Richtungsvektoren beschrieben werden. Der Punkt ist der Ortsvektor der Geraden, und die beiden Richtungsvektoren sind die Richtungsvektoren der Geraden und der zusätzliche Vektor, den wir hinzugefügt haben.
Also, die Ebenengleichung lautet:
E : x = (-38,4, -0,8, 1,5) + s (256, -64, 0) + t (0, 0, 1)
wobei s und t reelle Zahlen sind.
Um die Normalenform der Ebene zu finden, müssen wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnen, um den Normalenvektor zu erhalten:
(256, -64, 0) x (0, 0, 1) = (-64, -256, 0)
Der Normalenvektor der Ebene ist also n = (-64, -256, 0).
Die Normalenform der Ebene lautet dann:
-64(x + 38,4) - 256(y + 0,8) + 0(z - 1,5) = 0
Die Koordinatenform der Ebenengleichung ergibt sich durch das Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der Terme:
-64x - 256y + (-64 * 38,4) + (-256 * 0,8) = 0
-64x - 256y - 2457,6 - 204,8 = 0
-64x - 256y - 2662,4 = 0
Die Ebene, in der sich das Flugzeug bewegt, kann beschrieben werden durch:
E: x = (-38,4, -0,8, 1,5) + s (256, -64, 0) + t (0, 0, 1)
In Normalenform lautet die Ebenengleichung:
-64x - 256y - 2662,4 = 0
Hallo, kannst du mir vielleicht erklären, warum man für die Beschreibunh eine ebenengleichung erstellen muss?
Durch Hinsehen erkennt man, dass x3 immer 1,5 ist.
Die Ebene ist also parallel zur x1 x2 Ebene. Ein Normalenvektor dazu verläuft in Richtung der x3 Achse. Koordinatenform also x3 = 1,5.
eine ebenengleichung braucht man doch noch ein richtungsvektor ????
Ja, genau. Du brauchst einen zusätzlichen Richtungsvektor. Also: Die einfachste Möglichkeit der Darstellung einer Ebenengleichung für die Flughöhe von 1,5km ist die folgenden Ebenengleichung in Parameterform.
Mit Wahl der Parameter r und s erreichst Du jeden Punkt in der Ebene der Flughöhe von 1,5km. Der Normalenvektor (in einem Wort: gemeint ist ein Vektor, der immer senkrecht auf der Ebene steht) hat in diesem Fall nur eine z-Komponente und wäre in diesem Fall so definiert.
Daraus kann man nun auch die Ebenengleichung in Koordinatenform ableiten, was in diesem Fall ganz einfach ist.
z = 1,5
ist schon die ganze Ebenengleichung in Koordinatenform. Kann so interpretiert werden, dass die Koordinaten x und y immer frei gewählt werden können. Jede Wahl von x und y ergibt immer die konstante Flughöhe von z = 1,5km. Mehr steckt nicht dahinter.
Die Aufforderung den Normalenvektor mit dem Ortsvektor zu vergleichen führt ja gerade zu dem Zahlenwert von 1,5 auf der rechten Gleichungsseite der Koordinatengleichung. Also: Auch das ist hiermit schon abgefrühstückt.
Ich würde mal sagen, dass dieses Beispiel zu einfach ist, um prinzipiell die Umformung von Ebenengleichung in Parameterform in die Koordinatenform zu verstehen. Und die beteiligte Geradengleichung des Flugzeugkurses trägt auch nicht gerade dazu bei das vermutete Lernziel zu erreichen.
