Wurzel annähern?
Ich möchte Wurzel(5) annähern. Wie tue ich das am besten?
4 Antworten
Aus dem Newton-Verfahren ist das Heron-Verfahren abgeleitet:
x_neu = (x + 5/x)/2
Wenn man einen Schätzwert x (z.B. x = 2) für die Wurzel hat, kann man einen neuen Schätzwert berechnen. Aus dem dann wieder einen neuen ...
Das Verfahren konvergiert sehr gut, die Schätzwerte werden ziemlich schnell besser.
Statt der 5 kann man auch jede andere positive Zahl einsezen, deren Wurzel man berechnen möchte.
Da gibt es die Methode von xy (habe ich vergessen).
Zwei Zahlen a, b mit ab = 5
Wähle a0 = 1, b0 = 5
Dann ist a1 = (a0 + b0)/2 = 3
b1 = 5/a1 = 5/3
a2 = (a1 + b1)/2 = 14/6 = 7/3
b2 = 5 : 7/3 = 5 * 3/7 = 15/7
...
Das führst du bis zu einer beliebigen Genauigkeit fort.
Naja, du weißt z. B. sqrt(4) = 2. Dann kannst du es mal probieren mit 2 und 3:
2² = 4
3² = 9 (nicht 6 😬)
Dann gehst du immer weiter in die Mitte:
2,3² = 5,29 Das ist schon zuviel.
2,1² = 4,41; 2,2² = 4,84
Also liegt sqrt(5) zwischen 2,2 und 2,3. Jetzt probierst du logisch weiter:
2,25² = 5,0625 -> zu groß, zwischen 2,2 und 2,25
2,23² = 4,9729
2,24² = 5,0176 -> zwischen 2,23 und 2,24
Das kannst du jetzt ewig weiter machen.
Ja, super: 3² = 6. Das ist echt neu. So bekommst du bestimmt die Fields-Medaille
2² = 4 und 3²=9, also liegt die Wurzel 5 zwischen 2 und 3.
Dann kannst Du weitermachen: 2,5²=6,25, also liegt die Wurzel 5 zwischen 2 und 2,5.
Du könntest die Wurzelfunktion mit einem Taylor-Polynom annähern.
Gibt es auch andere Verfahren?