Abstand von benachbarten Wurzeln?
Ich habe neulich im Internet etwas gesehen. Wenn man den Abstand von WURZEL(2) und WURZEL(3) nimmt, dann den ABSTAND von Wurzel(3) und WURZEL(4) nimmt, dann wird dieser immer kleiner und geht gegen 0, umso größer die Zahl x in der ersten Wurzel und die Zahl x-1 in der zweiten Wurzel ist. Konvergiert dieser ABstand irgendwann gegen 0?
Auf dem Bild sieht man dass dieser Abstand deutlich kleiner wird, wenn dieser Abstand aber 0 werden würde, würde es bedeuten, dass es möglich wäre WURZEL(X) == WURZEL(Y) zu bilden!
2 Antworten
Der term sqrt(n+1)-sqrt(n) geht gegen 0 wenn n gegen unendlich geht.
Das wird zum Beispiel hier bewiesen:
https://math.stackexchange.com/questions/1582826/prove-that-the-limit-of-sqrtn1-sqrtn-is-zero
würde es bedeuten, dass es möglich wäre WURZEL(X) == WURZEL(Y) zu bilden!
(Der letzte Schritt vom Beweis ist dann, dass die obere Abschätzung gegen 0 ist. Und da 0 eine untere Schranke ist, ist der Grenzwert nach dem Sandwichlemma gleich 0)
Nein, sqrt(n+1) ist immer ungleich sqrt(n), 1/n ist ja für alle n ungleich 0, obwohl es gegen 0 geht.
Es kann aber sein, dass ein Computer bei einem bestimmten n sagen würde, dass sqrt(n+1)==sqrt(n) gilt, da die Differenz zu klein ist. (Computer haben ja eine beschränkte Genauigkeit)
Also ohne das jetzt nachzurechnen, würde ich sagen, konvergiert das gegen 0. Aber Konvergieren heißt ja nicht, dass der Wert irgendwann die 0 bei einem konkreten n erreicht.
Das erinnert mich in Achilles und die Schildkröte.
https://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_und_die_Schildkr%C3%B6te