Wo kommt die eulersche Zahl in der Natur vor?
Die Frage wurde schon mal gestellt, aber mich haben die Antworten nicht überzeugt: Wachstums- oder Zerfallsprozesse bspw. kann ich doch auch mit einer anderen Basis schreiben. Dagegen kommt der Goldene Schnitt ja tatsächlich direkt in der Natur vor, bspw. in Sonnenblumen. Aber wie ist es mit der Zahl e? Wo kommt die Zahl e so vor, dass man sie halt nicht durch eine andere Zahl ersetzen könnte? Versteht ihr, was ich meine, warum mich die üblichen Antworten nicht überzeugt haben?
6 Antworten
Die Zahl e hat sich in der Tat zunächst gut versteckt, weshalb sie im Gegensatz zu pi, der Fibonacci-Folge oder dem goldenen Schnitt beispielsweise relativ spät erst entdeckt wurde.
Wachstums- oder Zerfallsprozesse bspw. kann ich doch auch mit einer anderen Basis schreiben.
Prinzipiell ja, aber diese Basen haben nicht die Eigenschaft, wie die Basis e und daher in der mathematischen Weiterverrabeitung Schwierigkeiten, die es mit der Basis e nicht gibt.
Das liegt an folgendem:
Nehmen wir an, wir legen 1 Euro am 1. Januar zu einem Zinssatz von 100 % an. Wenn ich die Zinsen am 31. Dezember ausbezahlt bekomme, habe ich 2 Euro, mein Vermögen hat sich also verdoppelt.
Nehmen wir nun an, wir erhalten halbjährlich Zinsen ausgezahlt, erhalte ich am 1. Juli 0,5 Euro ausgezahlt und habe 1,5 Euro. Wenn dann im zweiten Halbjahr wieder 50 % Zinsen anfallen, erhalte ich 0,75 Euro Zinsen und habe damit 2,25 Euro am Jahresende. Nun fragte sich Bernoulli, ob man den Endbetrag beliebig erhöhen kann, wenn man die Auszahlungsperiode immer kleiner macht oder ob es einen Grenzwert gibt, wenn man die Auszahlungsperiode gegen 0 streben lässt. Und hier springen wir nun von der Bank in die Natur. Dort erfolgt das Wachstum nie sprunghaft, sondern kontinuierlich, die "Zinsen" werden also immer sofort ausbezahlt.
Nun rate mal, welchen Grenzwert Bernoulli bei kontinuierlichem Wachstum im obigen Fall rausgekriegt hat: 2.7182818284590452, also e
Die Wachstumsfunktion zur Basis e lautet dann:
mit Po als Anfangsbestand und λ als Wachstumsfaktor.
Mit λ lassen sich nun Sachen ganz einfach anstellen, die mit jeder anderen Basis kompliziert wären.
Der Kehrwert von λ ist die Zeitkonstante τ (klein-tau). Sie gibt an, wann sich die Population um den Faktor e vergrößert hat...undf dazu braucht man keinen Taschenrechner wie zu jeder anderen Basis.
Die Halbwertszeit bei einem Zerfall T1,2 kann man berechnen mit:
auch das lässt sich ganz einfach mit Papier und Bleistift ausrechnen, denn den ln(2) muss man nur einmal bestimmen und kann ihn dann immer wieder verwenden. ln(2) = 0.693
Bei jeder anderen Basis bräuchte man einen Taschenrechner zum Ausrechnen.
Das sol erstmal reichen, um darzustellen, wie sich e in natürlichen Wachstumsprozessen versteckt.
Nachdem Nun die Zahle e gefunden war, entdeckte man, dass sie auch innerhalb der Mathematik eine erstaunliche Sonderrolle spielt.
Ich möchte das nur anhand einiger Beispiele andeuten:
Mithilfe von e lässt sich ein erstaunlicher Zusammenhang mit pi und der imaginären Zahl i herstellen: (i = √-1):
Diese sogenannte Eulersche Idendität gilt als eine der elegantesten Formeln der Mathematik.
In der Natur gibt s viele Zufallsverteilungen, die der Gaußschen Glockenkurve gehorchen. Dazu zählt z.B. die Größenverteilung der Bevölkerung. Auch hier soielt die Zahl e eine entscheidende Rolle. Wenn man die Gaußsche Glockenkurve aufintegriert, um die Gesamtmenge zu ermitteln bzw. die Fläche unterhalb der Glockenkurve, erhält man das Integral:
Wobei sich wieder ein Zusammenhang von e und pi ergibt.
Zahlen kommen in der Natur nicht vor. So wenig wie Punkte oder Geraden.
Zahlen sind ein theoretisches Konzept, mit dessen Hilfe der Mensch auch Gegebenheiten oder Vorgänge in Natur beschreibt oder zu beschreiben versucht.
Die Zahl e eignet sich zur Beschreibung von Vorgängen, bei denen die Entwicklung einer Größe proportional zur Größe ist.
Als Beispiel das Wachstum eines Vermögens durch Zinsen (und Zinseszinsen):
Der Zins (das Wachstum) ist zu jedem Zeitpunkt in einem festen Verhältnis zum aktuellen Vermögen, das Verhältnis nennt sich auch Zinssatz.
Anderes Beispiel aus der Natur:
Die Änderung der Menge eines radioaktiven Isotops ist zu jedem Zeitpunkt proportional zur Menge des Isotops. Wenn die Hälfte zerfallen ist, ist auch Änderung der Menge durch Zerfall nur noch halb so groß.
Du kannst dir die Zahl e so herleiten:
Nehmen wir an, du hast einen Zinssatz von 100 % pro Jahr. Dann hast du nach einem Jahr 2 Euro statt 1.
Aber du bist nicht dumm und möchtest die Zinsen halbjählich. Dann hast du nach einem halben Jahr 1,5 und nach einem ganzen 1,5²=2,25 Euro.
Einmal auf den Geschmack gekommen willst du die Zinsen monatlich. Dann hast du am Ende des Jahres (1+¹/₁₂)¹²=2,613 Euro.
Wenn du das auf die Spitze treibst und tägliche, stündliche, sekündliche und schließlich kontinuierliche Berechnung forderst, landest du genau bei der Zahl e.
wieso : "Doch" ? TJN hat doch gar nix zum gS gesagt
Bei den Sonnenblumen kann man die Zahl gS besonders gut sehen . Das ist alles
Ui, was ist passiert? Habe ich was verpasst?
Du hast meine Antwort nicht gründlich gelesen oder durchdacht. Aber Hauptsache erst mal widersprechen!
Nach Fibonacci und Sonnenblume muss ich nicht googlen, die Aufforderung ist eine Frechheit.
Wow, du bist echt ganz schön aggro drauf. :(
Ob „Dich das überzeugt“ ist doch irrelevant.
Und wenn Du schreibst …
Wachstums- oder Zerfallsprozesse bspw. kann ich doch auch mit einer anderen Basis schreiben
… dann ändert das ja nichts daran, das es scheinbar mit dieser Zahl beschrieben werden kann.
Damit wirst Du Dich einfach abfinden müssen.
Es ist ja nicht unsere Aufgabe, Dir das „schmackhaft machen zu müssen“ oder Dir gegenüber die gesamte Begründung warum das so ist hier so lange nochmal zu wiederholen, bis Du Dich „bereiterklärst es zu akzeptieren“, nur weil Du es beim ersten mal nicht akzeptieren möchtest.
Hier, Lesestoff: https://www.energieleben.at/die-eulersche-zahl-regelt-wachstum-veraenderung-und-zerfall-in-der-natur/
Okay, ich kann auch sagen, 2.5 ist eine ganz besondere Zahl, denn ich kann alles , was in der Natur passiert , mit 2.5 beschreiben. Muss dann nur jeweils etwas subtrahieren/addieren
Nein. Eben nicht. Denn:
Muss dann nur jeweils etwas subtrahieren/addieren
Und wenn das, was Du da addieren oder subtrahieren musst immer ein bestimmter gleichbleibender Wert ist, dann ist diese andere Zahl (die immer dabei herauskommt ) die korrekte Zahl. Und nicht Deine „2,5“.
Und das ist nun einmal in der Realität die Eulersche Zahl.
Okay, also ich habs mir grad noch mal angesehen und der Clou besteht wohl darin, dass man für den Basiswechsel den Logarithmus braucht. D.h. es geht tatsächlich nicht ohne e, weil ln ja die Umkerhfunktion von e ist. Krasses Ding!
Finde, das sollte man aber ruhig dazu sagen, weil mein Gedanke bzw. Einwand sonst schon sehr naheliegend ist.
Das wurde ja auch nicht von den Wissenschaftlern „einfach so leichtfertig dahin gesagt“. 😉
Man kann auch andere Basen verwenden.
Gebräuchlich ist z.B. 2.
Man nennt man die "Zeitkonstante" bei der e-Funktion dann "Halbwertszeit".
e ist nichts anderes, als eine unendliche Reihe.
So kannst Du übrigens auch unendlichen Zinseszins ausrechnen.
I.d.R brauchst Du e für die e-Funktion.
Die e-Funktion funktioniert so gut, da sie Eigenschaften aufweist, die Wachstums- & Zerfallsprozesse präzise beschreiben kann.
Eine dieser Eigenschaften ist z.B. dass die Änderungsrate der e-Funktion proportional zur e-Funktion selbst ist.
Doch , der goldene Schnitt kommt tatsächlich vor! Google mal nach "Fibonacci Sonnenblume" :)