macht die quadrierte Wurzel wirklich jede negative Zahl positiv?
Hey ihr,
Folgendes:
Wenn ich etwas quadriere und dann die Wurzel nehme, wird eine negative Zahl ja positiv:
Gleiches gilt, wenn ich das ² über die Wurzel schreibe.
Jetzt das Problem:
Ich kann das alles ja umformen und die Wurzel als ^0,5 schreiben:
Allerdings darf man doppelte Exponenten ja einfach multiplizieren.
und wenn ich dann einfach 2 * 0,5 rechne, habe ich 1 raus: Dann steht da
Wenn ich das alles kompiniere, kommt da raus:
Das stimmt ja nicht. Die Rechenschritte sind aber auch alle richtig, oder? Wo ist der Haken? Man könnte jetzt argumentieren, dass man das einfach nicht machen soll, aber interessant wird das Ganze insbesondere, wenn keine -3, sondern bspw. ein x in der Wurzel bzw. in der Basis steht.
Ich bin gerade relativ verwirrt. Vielen Dank.
3 Antworten
Das Wurzelziehen ist als strikt positive Operation definiert somit kann die Wurzel per Definition kein negatives Ergebnis liefern zudem ist ihr Definitionsbereich auch nur in den positiven Zahlen.
Daher verletzt du mit dem Rechnen von (-3)^(2*0.5)=(-3)^1 den Definitionsbereich der Wurzelfunktion.
Du musst also zuerst die (-3) quadrieren und erst dann darfst du die Wurzel ziehen und es kann hier dann aufgrund des Bildbereichs der Wurzelfunktion auch nur eine positive Zahl rauskommen.
Da du also den Definitionsbereich verletzt kommt am Ende auch ein Blödsinn raus.
Ein Beispiel wo das ebenfalls auftritt ist bei der Gleichung:
4x=3x
Wenn man jetzt durch x dividert steht da 4=3. Da hier x eindeutig 0 ist, ist die Division durch x hier nicht erlaubt.
Wenn du umformst machst du genau das. Das ist eben keine Äquivalenzumformung mehr da das *0.5 nur dann gilt wenn der vorhige Term positiv ist. Du kannst 2*0.5 also nur dann rechnen wenn die Zahl positiv ist sonst nicht.
Am Ende verknüpfst du 2 Operationen
Nämlich x² und sqrt(x)
Jetzt hast du eben sqrt(x²) diese Operation geht aber nur wenn x² positiv ist sonst ist sie nicht definiert.
Du gehst also in deiner Umformung implizit davon aus dass x² positiv ist, womit auch x^(2*0.5) positiv sein muss.
Du formst gar nichts um indem du ^½ schreibst. Sondern und änderst nur die Schreibweise. Der Definitionsbereich bleibt derselbe
Zuerst mal bei der ersten Sache mit der wurzel:
Diese ist im reellen gar nicht auf negative zahlen definiert somit ist die Multiplikation der Exponemten wie du sie in der geänderten Schreibweise durchfürst auch nicht definiert.
Zu der zweiten Sache
3x=4x stimmt nur für x=0 und da die Division durch 0 nicht definiert ist darfst du auch nicht durch x teilen und damit ist der Widerspruch schon vom tisch
Wieso schreibst du das mir? Ich habe doch genau das gesagt....
3x=4x stimmt nur für x=0 und da die Division durch 0 nicht definiert ist darfst du auch nicht durch x teilen und damit ist der Widerspruch schon vom tisch
Das steht doch 1 zu 1 so auch in der Antwort, also wozu der Kommentar?
((−3)²)⁰·⁵ = 9⁰·⁵
Das Problem ist, daß 9⁰·⁵ gleichermaßen +3 und −3 sein kann, weil beide quadriert 9 ergeben. Mit dem Wurzelzeichen meint man die Hauptlösung, also √9=3, aber Deine Schritte sind geschickt so gewählt, daß die Haupt- und Nebenlösung ihre Plätze tauschen, und so kommt man zu diesem Paradox.
als was würdest du sagen? ein fehler in der mathematik kann ja nicht sein aber ich sehe nicht wo mein fehler ist.
Dein Fehler ist eine zu einfache Vorstellung davon, was gebrochene Exponenten machen — Du denkst, das ist eine simple Operation wie mit Zehn multiplizieren (aus einer Zahl wird eine neue), in Wirklichkeit ist es komplizierter, weil sie aus einer Zahl mehrere neue machen.
aber dann müsste es ja verschiedene Rechengesetze geben, je nachdem, ob es im Exponenten steht oder nicht. Und wenn ich dann bspw. den ln() nehmen würde, dann würden die Exponenten ja noch vorne wandern, und dann müssten sich demnach auch die Rechenregeln wieder ändern? Das kann ja nicht sein oder?
Leider doch: (2²)⁰·⁵ ist mehrdeutig ±2, aber (2⁰·⁵)² ist eindeutig 2, und das kollidiert mit der bekannten Regel wonach (aᵇ)ᶜ=(aᶜ)ᵇ=aᵇᶜ — diese Regel ist nur dann unproblematisch anwendbar, wenn b und c ganzzahlig sind.
Bei dem zweiten Schritt musst du erstmal (-3)^2 rechnen und dann das Ergebnis davon hoch 0,5
Also (-3)^2 = 9^0,5 = 3
Nein, man darf doppelte Exponenten doch einfach multiplizieren.
((-3)^2)^0,5 = 9^0,5 = (3^2)^0,5 = 3
Die -3 steht in der Klammer, daher musst du erstmal die -3 potenzieren.
Da stehen die Zahlen aber nicht in Klammern.
((2)^2)^2 ist ungleich (2^2)^2
Die 2 steht im ersten Beispiel in Klammern. Wir müssen sie also erst potenzieren. Sie wird also erstmal als eine alleinstehende Zahl betrachtet. Im zweiten Beispiel ist 2^2 ist alleinstehende Zahl, weshalb wir sie direkt mit 2 potenzieren können.
((2)^2)^2 ist ungleich (2^2)^2
wenn ich das beides in meinen TR eingebe kommt das gleiche raus. Er macht die Klammern um die alleinstehende 2 sogar direkt weg, weil sie egal sind.
Weil es in dem Fall auch äquivalent ist, sprich es liefert das selbe Ergebnis es sind aber unterschiedliche Ausdrücke, wobei das Beispiel hier aber natürlich schlecht ist.
-3^2 ist ungleich (-3)^2 das kannst du auch mal so in den TR eingeben.
aber ich rechne zu diesem zeitpunkt ja noch gar nicht die wurzel aus, ich forme doch erstmal nur um. Und wenn ich -3^(2*0,5) habe, steht da ja direkt -3^1, und das ist ja erlaubt. Wenn das nicht erlaubt wäre, müsste man doch davon ausgehen, dass 0,5*2 ungleich 1 ist, was es aber ja nicht ist.