WIESO IST EINE NICHT STETIGE FUNKTION NICHT DIFFERENZIERBR?
frage steht oben.
Also wieso ist Stetigkeit eine notwendige Bedingung für diffbarkeit wenn die Ableitung an der stelle gleich ist???
5 Antworten
Wenn die Funktion an einer Stelle nicht stetig ist, dann kann an dieser Stelle der Differenzialquotient nicht berechnet werden.
Es gibt sogar Funktionen, die an jeder Stelle eines Intervalls stetig sind aber an keiner Stelle des Intervalls differnzierbar sind. Wenn eine solche Funktion die Bewegung eines Teilchens darstellen würde, dann würde das bedeuten, dass sich das Teilchen bewegt ohne eine Geschwindigkeit zu haben. Dieses Modell wurde eine Zeitlang als Erklärung dafür herangezogen, dass das Elektron im Atom keine elektromagnetische Strahlung aussendet. Mathematische Darstellungen gehen manchmal weit über das Vorstellbare hinaus.
P.S.:
Wenn f(x) an der Stelle c unstetig ist, dann gibt es in einer beliebig kleinen Umgebung von c immer zwei Funktionswerte mit einer endlichen Differenz und damit geht der obige Grenzwert gegen unendlich.
Man kann nicht die Steigung in einem Punkt bestimmen, in dem die Funktion einen Sprung macht.
Wenn lim (f(x+h) - f(x)) ungleich 0 für h gegen 0, was ja Unstetigkeit in x bedeutet, dann kann der Differentialquotient lim (f(x+h) - f(x))/h für h gegen 0 nicht existieren…
Die Ableitung an einer Stelle ist der Differenzialquotient, also der Grenzwert des Differenzenquotienten. Dieser Grenzwert existiert aber nur, wenn die Funktion stetig ist ( f(x) -f(x0) würde nicht gegen 0 gehen und der Bruch als gesamtes würde immer gegen +/- unendlich gehen, da x - x0 gegen Null geht)
Was bedeutet denn die Ableitung?
Das bedeutet, dass du einen Punkt der Funktion her nimmst (den, an dem du die Ableitung wissen willst) und dann einen zweiten Punkt bestimmst und zwischen den beiden Punkten die Steigung bestimmst. Dann wandert der zweite Punkt immer näher an den ersten, bis der Abstand (als Limes) gegen 0 geht. Die Steigung, die dabei herauskommt, ist die Ableitung.
Wenn du die Ableitung so an einer Stelle machst, die unstetig ist, hast du die als Ableitung auf der Seite, an der die Funktion "springt" immer eine Steigung von (plus oder minus) unendlich.