Wieso ist hier Stetigkeit so anders?
Halllo,
wieso kommt hier bei lim x->0 gleich 1 raus bei mir kommt null raus ?
und wieso ist es eine stetige Funktion ?
3 Antworten
Hallo,
am einfachsten ermittelst Du den Grenzwert für x gegen Null über die Regel von
de l'Hospital, die besagt, daß Du die Grenzwerte der Ableitungen von Zähler und Nenner verwenden darfst, wenn als Grenzwert für eine gebrochen rationale Funktion
±unendlich/±unendlich oder 0/0 herauskommt.
Hier wäre es 0/0, denn sin (0)=0 und wenn Du im Nenner für x eine Null einsetzt, kommt auf jeden Fall 0 heraus.
Die Ableitung von sin (x) ist cos (x), die von x ist 1.
So bekommst Du als Grenzwert für x gegen Null
cos(0)/1=1/1=1 heraus.
Von links und von rechts nähert sich die Funktion der 1 an, denn für x nahe Null stimmen Argument und Sinuswert fast überein (im Bogenmaß), so daß sich die Funktion an der Stelle x=0 von beiden Seiten dem Funktionswert 1 nähert.
Da die nicht definierte Stelle bei x=0 punktuell und damit praktisch ohne Ausdehnung ist, kannst Du die Funktion trotz der Definitionslücke als stetig bezeichnen.
Herzliche Grüße,
Willy
Da die nicht definierte Stelle bei x=0 punktuell und damit praktisch ohne Ausdehnung ist, kannst Du die Funktion trotz der Definitionslücke als stetig bezeichnen.
was meinst du damit, dass wir nur eine Definitionslücke also Nullstelle haben ?
also genauer gefragt, wie bestimmt man solche Definitionslücken , sind das Nullstellen ?
Na, bei einer Definitionslücke ist die Funktion schlicht nicht definiertö.
In deinem Fall ist das Gganze für x=0 nicht definiert.
Nichtwsdestotrotz läst sich ein Grenzwert lim x->0 f(x) finden, der sozusagen angibt, welcher Wert die Funktion sinnvollerweise da haben sollte um stetig zu sein.
Du kannst dir überlegen, dass sin(x) differenzierbar ist und die Ableitung durch cos(x) gegeben ist. Du weißt auch, dass sin(0) = 0 gilt. 1 = cos(0) ist also die Ableitung von sin(x) an der Stelle x = 0. Per Definition der Ableitung ist diese jedoch auch gleich dem Grenzwert von (sin(x)-sin(0))/(x-0) für x -> 0. Da sin(0) = 0 gilt, bleibt sin(x)/x für x -> 0 übrig. 1 ist wie gesagt die Ableitung für x = 0, d.h. es folgt sin(x)/x -> 1 für x -> 0. f ist als Quotient der stetigen Funktionen sin(x) und x überall stetig, wo es existiert. Setzen wir f(0) = 1 (also gleich dem Grenzwert für x -> 0), so haben wir die Funktion stetig in 0 fortgesetzt.
Beachte: Es ist ein Def.-Bereich angegeben, und dort ist x=0 ausgenommen. Die Angabe "f ist eine stetige Funktion" bezieht sich also auf den Definitionsbereich.
An der Stelle x=0 ist f natürlich nicht stetig, da nicht definiert, also höchstens stetig fortsetzbar.
Ich kenne die Definition: stetig = Grenzwert und Funktionswert stimmen überein (kurz gefasst). Damit kann eine Fkt. an einer Def.-Lücke nicht stetig, sondern nur stetig ergänzbar sein. Das ist hier der Fall. Oder?