Wieso ist hier Stetigkeit so anders?
Halllo,
wieso kommt hier bei lim x->0 gleich 1 raus bei mir kommt null raus ?
und wieso ist es eine stetige Funktion ?
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
Hallo,
am einfachsten ermittelst Du den Grenzwert für x gegen Null über die Regel von
de l'Hospital, die besagt, daß Du die Grenzwerte der Ableitungen von Zähler und Nenner verwenden darfst, wenn als Grenzwert für eine gebrochen rationale Funktion
±unendlich/±unendlich oder 0/0 herauskommt.
Hier wäre es 0/0, denn sin (0)=0 und wenn Du im Nenner für x eine Null einsetzt, kommt auf jeden Fall 0 heraus.
Die Ableitung von sin (x) ist cos (x), die von x ist 1.
So bekommst Du als Grenzwert für x gegen Null
cos(0)/1=1/1=1 heraus.
Von links und von rechts nähert sich die Funktion der 1 an, denn für x nahe Null stimmen Argument und Sinuswert fast überein (im Bogenmaß), so daß sich die Funktion an der Stelle x=0 von beiden Seiten dem Funktionswert 1 nähert.
Da die nicht definierte Stelle bei x=0 punktuell und damit praktisch ohne Ausdehnung ist, kannst Du die Funktion trotz der Definitionslücke als stetig bezeichnen.
Herzliche Grüße,
Willy
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
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Da die nicht definierte Stelle bei x=0 punktuell und damit praktisch ohne Ausdehnung ist, kannst Du die Funktion trotz der Definitionslücke als stetig bezeichnen.
was meinst du damit, dass wir nur eine Definitionslücke also Nullstelle haben ?
also genauer gefragt, wie bestimmt man solche Definitionslücken , sind das Nullstellen ?
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Na, bei einer Definitionslücke ist die Funktion schlicht nicht definiertö.
In deinem Fall ist das Gganze für x=0 nicht definiert.
Nichtwsdestotrotz läst sich ein Grenzwert lim x->0 f(x) finden, der sozusagen angibt, welcher Wert die Funktion sinnvollerweise da haben sollte um stetig zu sein.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Du kannst dir überlegen, dass sin(x) differenzierbar ist und die Ableitung durch cos(x) gegeben ist. Du weißt auch, dass sin(0) = 0 gilt. 1 = cos(0) ist also die Ableitung von sin(x) an der Stelle x = 0. Per Definition der Ableitung ist diese jedoch auch gleich dem Grenzwert von (sin(x)-sin(0))/(x-0) für x -> 0. Da sin(0) = 0 gilt, bleibt sin(x)/x für x -> 0 übrig. 1 ist wie gesagt die Ableitung für x = 0, d.h. es folgt sin(x)/x -> 1 für x -> 0. f ist als Quotient der stetigen Funktionen sin(x) und x überall stetig, wo es existiert. Setzen wir f(0) = 1 (also gleich dem Grenzwert für x -> 0), so haben wir die Funktion stetig in 0 fortgesetzt.
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Beachte: Es ist ein Def.-Bereich angegeben, und dort ist x=0 ausgenommen. Die Angabe "f ist eine stetige Funktion" bezieht sich also auf den Definitionsbereich.
An der Stelle x=0 ist f natürlich nicht stetig, da nicht definiert, also höchstens stetig fortsetzbar.
Ich kenne die Definition: stetig = Grenzwert und Funktionswert stimmen überein (kurz gefasst). Damit kann eine Fkt. an einer Def.-Lücke nicht stetig, sondern nur stetig ergänzbar sein. Das ist hier der Fall. Oder?