Wieso hat die folgende Funktion eine leere Lösungsmenge?
Hallo zusammen,
folgende Gleichung ist vorgegeben und laut Musterlösung von der RWTH gibt es keine Nullstellen. Die Frage ist jetzt warum. Anscheinend wird nur das positive Resultat der Wurzel betrachtet, aber wieso?
Wurzel(4x^2) -x + 2 = 0 Lösungsmenge L={}
Aus einer Wurzel bekommt man doch immer +- raus, damit hätte man doch auch Nullstellen, aber wieso nicht hier? Sogar wenn man aus der Wurzel 2x macht, hätte man ja Nullstellen... .
Bitte um Rat :)
4 Antworten
Wurzeln haben immer nur EINE Lösung und zwar eine positive Lösung!
Nur so und nicht anders sind Quadratwurzeln definiert!
Anmerkung:
Das darf man NICHT verwechseln mit dem Lösen einer quadratischen Gleichung!
Die Gleichung x²=4 hat 2 Lösungen:
x=+√4 und x=-√4
Das Vorzeichen steht VOR der Wurzel, aber √4 selbst ergibt immer nur 2 und sonst nichts.
Ergänzung:
Deine Annahme √(4x²) = 2x ist nur richtig, wenn x≥0
Für x<0 gilt: √(4x²) = -2x
Allgemein gilt also für reelle x: √(4x²) = 2 •│x│
Es kommt also für √(4x²) immer was Positives raus!
Hallo poldiac,
ich fürchte, Du bringst da etwas durcheinander:
Eine Funktion f(x) hat Nullstellen (oder auch nicht), die Gleichung f(x)=0 hat Lösungen (oder auch nicht). Läuft natürlich auf dasselbe hinaus. Und Deine Gleichung
(1.1) g(x) = √{4x²} – x + 2 = 0
hat genau eine Lösung, weil √{4x²}:=2x ist:
(1.2) g(x) = 2x – x + 2 = x + 2 = 0
⇒ x = -2. Du meinst wahrscheinlich
(2) f(x) = 4x² – x + 2,
die tatsächlich keine (Reelle) Lösung hat.
Du kannst (2) in die Scheitelpunktform bringen, indem Du zuerst die Konstante auf die andere Seite bringst,
(3.1) f(x) – 2 = 4x² – x,
x als 2·2x·¼ auffasst und quadratisch ergänzt und die 2. Binomische Formel anwendet:
___(3.2) f(x) – ³¹/₁₆ = 4x² – x + ¹/₁₆
⇔ (3.3) f(x) – ³¹/₁₆ = (2x – ¼)² = 4(x – ⅛)²
Das Ergebnis ist eine Parabel, die nach oben aufgeht und um den Faktor 4 gestreckt ist, um ⅛ nach rechts und um ³¹/₁₆ nach oben verschoben ist. Schon daran siehst Du, dass f(x) mit x∈ℝ keine Nullstellen haben kann.
Algebraisch kannst Du das herausfinden, indem Du f(x)=0 einsetzt und versuchst, die Gleichung zu lösen:
(4.1) –³¹/₁₆ = 4(x – ⅛)²
(4.2) –³¹/₆₄ = (x – ⅛)²
(4.3) ±⅛·√{–31} = ±⅛·√{31}i = x – ⅛
(4.4) ⅛·(1 ± √{31}·i) = x
Das Ergebnis enthält die Imaginäre Einheit i mit der Eigenschaft i²=-1.
Deine Behauptung "√(4x²) = 2x" gilt nur, wenn x positiv ist. Wenn x negativ ist, dann gilt: √(4x²) = -2x, weil die Quadratwurzel grundsätzlich so definiert ist, dass sie immer nur EINE Lösung hat, und zwar eine POSITIVE Lösung!
Stimmt auffallend. Ich hätte schreiben sollen √{4x²}=2|x|. Danke für die Korrektur.
Die Gleichung in dieser Form hat tatsächlich keine Lösung.
Ich war nur ziemlich sicher, das mit der Wurzel sei eine Art Druckfehler gewesen, und so habe ich mich eingehender nur mit der quadratischen Gleichung
4x² – x + 2 = 0
(ohne Wurzel) befasst.
Die Wurzelfunktion hat definitionsgemäß immer nur die nichtnegative Zahl als Lösung, sonst wäre sie keine Funktion (nicht eindeutig).
Die Nullstelle ist meiner Meinung nach x=-2. Wie war denn die Definitionsmenge der Funktion (evtl. nur x>=0)?
Du hättest mal die Probe machen sollen für deine angebliche Lösung ;-)
x=-2 einsetzen ergibt:
√(4(-2)²) - (-2) + 2
= √16 + 2 + 2
= 4 + 4 = 8 und NICHT 0
Wenn man davon ausgeht, dass die Wurzel aus x^2 x ist (und das kann man wohl), gilt, dass Wurzel (4x^2) 2x ist und dann stimmt meine Rechnung.
Nein!
√(x²) = │x│ weil die Quadratwurzel grundsätzlich so definiert ist, dass sie immer nur positive Werte liefert.
√(x²) = x das stimmt nur, wenn x positiv ist.
Wenn x negativ ist, dann gilt: √(x²) = -x
Dann hätte ja x^2-4 nur eine Nullstelle. Hat aber 2 und zwar -2 und 2.
Bitte erst mal nachdenken, bevor du so einen Unsinn (sorry) schreibst!
Lies mal in meiner Antwort+Ergänzung den Unterschied zwischen Wurzelziehen und dem Lösen einer quadatischen Gleichung!
Also in deinem Bsp:
x²-4=0
x²=4
x = ± √4
x = ± 2
Die Vorzeichen stehen VOR dem Wurzelzeichen und √4 selbst ist immer nur 2 und sonst nichts!
DU bist es, der was durcheinander bringt!
Der erste Teil deiner Antwort ist FALSCH!
Deine Behauptung "√(4x²) = 2x" gilt nur, wenn x positiv ist.
Wenn x negativ ist, dann gilt: √(4x²) = -2x
weil die Quadratwurzel grundsätzlich so definiert ist, dass sie immer nur EINE Lösung hat, und zwar eine POSITIVE Lösung!
RICHTIG ist: g(x) = √{4x²} – x + 2 = 0
hat KEINE Lösung, weil √(4x²)=2│x│ ist.
Für deine falsche Lösung hättest du besser vorher mal eine korrekte Probe machen sollen ;-)
x=-2 einsetzen ergibt:
√(4(-2)²) - (-2) + 2
= √16 + 2 + 2
= 4 + 4 = 8 und NICHT 0