Wieso gibt es bei meiner Gleichung keine Nullstelle?
Hallo,
Ich habe hier eine gebrochen rationale Funktion und soll die Definitionslücken und Nullstellen bestimmen. Die Funktion ist folgende:
f(t)=(2t+2)/(t²-1)
Laut Lösungsbuch hat diese Funktion keine Nullstelle. Meiner Meinung nach war doch die Nullstelle wenn der Zähler = 0 ergibt. Den einzigen Ansatz den ich hätte wäre, dass -1 ja auch eine behebbare Definitionslücke sein könnte aber wirklich auskennen mit behebbaren DL tu ich mich auch nicht.
Kann mir das jemand bitte erklären?
6 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/13_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Nein wenn du -1 einsetzt kommt im Nenner auch 0 raus und durch null darfst du nicht teilen. Deshalb ist die Lösung im Mathebuch richtig. -1² -> 1 und 1-1 ist bekanntlich 0.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/MaKobenutzer/1402339635362_nmmslarge.jpg?v=1402339635000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Volens/1444748690_nmmslarge.jpg?v=1444748690000)
Aus dem Nenner geht hervor, dass die Funktion bei +1 und bei -1 nicht definiert ist (3. Binomische Regel). Dann ist da auch keine NS, selbst wenn du aus dem Zähler eine herausbekommst.
Wenn du allerdings den Zähler zerlegst, könntest du durch (t+1) dividieren. Es würde 2/(t-1) bleiben. Und theoretisch könntest du mit einer zusätzlichen Definition f(t) = 2/(t-1) bei t = -1
die Lücke beheben.
An der anderen Unstetigkeitsstelle (t = +1) geht das aber nicht, denn es ist eine Polstelle. Die Kurve haut ins Unendliche ab.
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Eine Nullstelle kannst du trotzdem nicht herstellen, denn auch mit der zusätzlichen Definition wird es eine Hyperbel mit der x-Achse als Asymptote.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/hypergerd/1444746519_nmmslarge.jpg?v=1444746519000)
Für die Schulmathematik ist klar, dass
2/(x-1) keine Nullstelle hat. (Polstelle bei x=1 geht gleichzeitig gegen +/- ∞)
Forscher, die neue Wege suchen, schauen sich den Grenzwert
LIMES 2/(x-1)
an und bei + und - UNENDLICH kommt 0 heraus.
Die Menschen interpretieren das unterschiedlich:
- für einige ist UNENDLICH gleich "nie erreichbar" (keine Lösung)
- andere notieren das Ergebnis mit +/- ∞ denn manchmal kann das für Nachfolgeberechnungen interessant sein (Herauskürzen, Fallunterscheidung, Rundung, Fehlerfortpflanzung, ...)
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Beispiel Physik, wo solche Grenzbetrachtungen interessant sind:
es gibt in unserer realen Welt nichts kürzeres als die Planck-Länge 1,616*10^(-35) m
1.616*10^-35=2/(x-1) ergibt
x=123762376237623749727495524274143232
und dieses Ergebnis in Meter würde etwas über 10^19 Lichtjahre bedeuten. Zwar etwas größer als das momentan beobachtbare Weltall, aber eben nicht UNENDLICH.
Nun gibt es auch andere Planck Einheiten -> und überall könnte man einen Grenzwert weit unter UNENDLICH berechnen, ab dem das Ergebnis in der Physik 0 oder "nicht machbar" bedeutet.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/leiermann/1444743997_nmmslarge.jpg?v=1444743997000)
Hallo MaKobenutzer,
der Zähler kürzt sich weg: f(t)=2(t+1)/(t^2-1)=2/(t-1)
Gruß von leiermann
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Das ist auch ein guter Weg. Hab ich gar nicht gesehen. War so auf die Variablen fokussiert! Dankeschön :)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Das Problem ist hier, dass x = -1 eine Definitionslücke ist. wenn du Umformst auf t² - 1 = (t+1)(t-1) und 2t + 2 = 2(t+1), dann sieht deine Funktion aus wie 2(t+1)/(t+1)(t-1) = 2/(t-1) mit einer Polstelle bei x = 1 und keiner Nullstelle!
LG