wieso addiert man trotzdem die Wahrscheinlichkeiten bei Binomialverteilung?

wenn man zum Beispiel eine bin Verteilung hat die die Wahrscheinlichkeit für die Anzanl von richtigen Antworten angibt, also laut unserer Lösung muss man wenn man wissen will wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Schüler 5 und mehr antworten richtig hat die Wahrscheinlihckeiten mit dieser formel von bernoulli oder so ausrechnen, aber das ist doch doppelt gemoppelt, wenn ich 5 antworten richtig habe, dann ist das ja in 6 antworten schon drinne, und die 6 ist in der 7 drinne

also wieso summiert man das trotzdem

Answer 1

[malte314]

Die Formel für die Bernoulli-Kette lautet:

$\mathbb P(X=k) = {n\choose k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Damit berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer (zweiter Faktor) und genau n-k Nichttreffer (dritter Faktor) in allen erdenklichen Reihenfolgen (erster Faktor). Bei n = 10 hieße das Summieren also:

Genau 5 Treffer und 5 Nichttreffer oder genau 6 Treffer und 4 Nichttrffer oder genau 7 Treffer und 3 Nichttreffer

Ergänzung:

Betrachten wir einen einfachen Fall mit n = 3 und den Ereignissen:

$A_1 = \text{„Ein Treffer}$ $A_2 = \text{„Zwei Treffer“}$ Die Kombinatorik können wir uns ohne Formeln überlegen, ich nenne Treffer 1 und Nichttreffer 0:

$A_1 = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$ $A_2 = \{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1))\}$

Man sieht doch ganz leicht, dass die beiden Ereignisse disjunkt sind, also ist:

$\mathbb P(A_1\cup A_2) = \mathbb P(A_1) + \mathbb P(A_2) - \mathbb P(A_1\cap A_2) = \mathbb P(A_1) + \mathbb P(A_2)$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – B.Sc. Computer Science

Comments

[YaHobby]

ja genau, will ich also wissen wie hoch p für kleiner gleich 3 treffer ist, addiere ich ja k=0 k=1 k=2 k=3 entsprechend eingeseztt in diese formel, aber k=3 enthält doch schon k=2 und k=1 oder nicht?

[malte314]

@YaHobby

Einen Moment, man kann in Kommentaren keine LaTeX-Formeln benutzen, ich bearbeite meine Antwort

[YaHobby]

@malte314

jo danke