Wie sind seine Abmessungen zu wählen, damit sein Volumen möglichst groß wird?

Einer Halbkugel mit dem Radius R soll ein auf der Spitze stehender Drehkegel eingeschrieben werden. Wie sind seine Abmessungen zu wählen, damit sein Volumen möglichst groß wird

?

Ich versuche es die ganze zeit zu lösen aber es geht nicht ,ich versteh es nicht wie ich das machen soll. Kann mir das wär bitte schrittweise erklären?

Answer 1

[Elumania]

Soll die Figur so aussehen?

Answer 2

[Wechselfreund]

Zielfunktion

V = 1/3 pi r² h

Nebenbedingung

R² = r² + h²

nach r² auflösen

Comments

[Sandraa16]

Ich habe das schon gemacht aber ich weiss nicht mehr wie es dann weiter geht also :

Ich habe es dann in volumen eingesetzt und habe die zielfunktion vereinfachert hab dann v= R^2h-h³ bekommen und habe dann die ableitung gemacht v‘(h) = R²-3h² und genau hier weiss ich nicht mehr wie es weiter geht 

[Wechselfreund]

@Sandraa16

V(h) = 1/3 pi (R²h-h^3) hab ich da, aber der konstante Faktor ist unerheblich.

Ableitung = 0 setzen, wie üblich noch nachweisen, dass die Lösung tatsächlich ein Maximum ist. Auch noch r angeben.

Answer 3

[automathias]

Hi Sandraa16,

Du kannst die Aufgabe erheblich vereinfachen indem Du die Flächen (so wie in Deiner Zeichnung) anstelle der Volumen behandelst (denn diese sind über R proportional dazu).

Sind die Flächen maximal, dann sind es auch die Volumen. Es reicht eine Dreieckshälfte zu behendeln.

mit F=1/2 * r * h und r^2=R^2 - h^2 -> r = Wurzel[R^2 - h^2]

F=1/2 * Wurzel[R^2 - h^2] * h = 1/2 * Wurzel[R^2 * h^2 - h^4]

zur Ermittelung des Maximums reicht es den Ausdruck unter der Wurzel zu betrachten (monoton steigend).

f(h) = R^2 * h^2 - h^4

Das Maximum ist eine Nullstelle der ersten Ableitung.

f'(h) = R^2 * 2h - 4h^3 = 0

R^2 = 2h^2

-> h = R/Wurzel[2] und r=h

MFG automathias

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Elektrotechnik, Physik, Informatik - RWTH Aachen

Answer 4

[KonsolenSuchti]

Also ich erkläre das mal wie ich die aufgabe verstehe. Wichtig: Bei einem kreis ist R (radius) immer = D (Durchmesser)

Schritt 1
Du schaust nach wie groß der Durchmesser von dem Boden des Kegels ist

Schritt 2
Du teilst diese Zahl durch 2

Schritt 3
Die Geteilte Zahl Nimmst du nun als Radius für die HalbKugel

Answer 5

[Tannibi]

Du hast einen Halbkreis mit einem Dreieck,
das möglichst groß werden soll. Wenn es das
ist, ist es auch der einbeschriebene Kegel.

Das Dreieck hat die Fläche

A(h) = h * sqrt(R² - h²)

Die Ableitung ist

−(2h²−R²)/sqrt(R² - h²)

(2h²−R²) = 0

h = sqrt (R²/2)