Extremwertaufgabe lösen: Zylinder in Halbkugel mit maximalen Volumen?
Bitte möglichst mit Lösungsweg. Ich brauche eine allgemeine Lösung, deswegen habe ich den Wert des Radius mit R ersetzt.
5 Antworten
Zylinder (r, h) in Halbkugel mit Radius R
(1) V = π • r² • h
(2) h² + r² = R²
(2) in (1): V = π • (R² - h²) • h
1. Ableitung = 0
V’ = 0 = R² – 3h²
h = R / √3 = R • 0,577
r = R • √(2/3) = R • 0,816
Fläche (r, h) in Halbkreis mit Radius R
(1) F = 2 • r • h
(2) h² + r² = R²
(2) in (1): F = 2 • r • √(R² - r²)
1. Ableitung = 0
F’ = 2 • √(R² - r²) - 2 • r • 0,5 • 1/√(R² - r²) • 2 • r = 0
0 = √(R² - r²) - r • 1/ √(R² - r²) • r || • √(R² - r²)
0 = R² - 2 • r²
r = R /√2 = R • 0,707
h = R/√2 = R • 0,707
Das Bild veranschaulicht die beiden Fälle
Da hast Du Dich vermutlich vertippt ;-)
0,8956² + 0,577² = 1,135 > 1
0,816² + 0,577² = 0,999 ≈ 1
Hallo !
Was du brauchst, das ist eine Formel, die den maximal möglichen Radius des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe des Zylinders berechnet.
Die Höhe des Zylinders ist dabei der vertikale Abstand von der Fläche, an der die Halbkugel ihre maximale horizontale Ausdehnung hat, wenn man die Halbkugel nach unten geöffnet horizontal ausrichtet.
Diese Formel leistet das -->
r(h) = R * sin(arccos(h / R)) mit 0 <= h <= R
r(h) = maximal möglicher Radius des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe h
R = Radius der Halbkugel
h = Höhe des Zylinders = Abstand von der Öffnungsfläche der Halbkugel
Nun brauchst du noch die Formel für das Volumen des Zylinders
V = pi * r ^ 2 * h
Für r setzt du jetzt stattdessen die Formel für r(h) ein -->
V(h) = pi * (R * sin(arccos(h / R))) ^ 2 * h
V(h) deshalb, weil das Volumen hier eine Funktion von h ist.
Um jetzt das Maximum zu berechnen musst du erst mal die 1-te Ableitung V´(h) bestimmen -->
V´(h) = pi * (R ^ 2 - 3 * h ^ 2)
Du musst jetzt die Nullstellen von V´(h) finden -->
h _ 1 , 2 = ∓ R / √(3)
Da wir ja gesagt hatten, dass 0 <= h <= R sein muss fällt die negative Lösung, also h _ 1 schon mal weg, es bleibt nur noch übrig -->
h = R / √(3)
mit der Formel von oben -->
r = R * sin(arccos(1 / √(3)))
das vereinfacht sich zu -->
r = √(2 / 3) * R
Das Volumen beträgt dann -->
V = pi * (R *√(2 / 3)) ^ 2 * R / √(3)
das vereinfacht sich noch zu -->
V = (2 / (3 * √(3))) * pi * R ^ 3
Schaue dir aber auch die Antwort von Willy1729 an, seine Methode ist wahrscheinlich die einfachere.
das vereinfacht sich noch zu V = (2 / (3 * √(3))) * pi * R ^ 3
oder V = 1,2092 • R³ ;-)
"Schaue dir aber auch die Antwort von Willy1729 an, seine Methode ist wahrscheinlich die einfachere"
aber leider nicht richtig, denn der Radius des Zylinders geht in Volumen quadratisch ein, beim Halbkreis in die Fläche aber linear :-((
Nachtrag :
Diese Webseite habe ich noch im Internet gefunden -->
http://www.onlinemathe.de/forum/Extremwert-Kugel-Zylinder-Extremwertaufgabe
Dort wird das Ganze für eine Kugel statt einer Halbkugel gemacht, deshalb ist die Höhe dort auch doppelt so groß wie die Höhe in einer Halbkugel ist.
Diese Rechnung, die anders als mein Rechenweg ist, kannst du auch nehmen, musst halt nur daran denken, dass bei der Halbkugel eben die Höhe nur halb so groß ist, also statt h = (2 / √(3)) * R eben nur h = R / √(3) wie ich in meiner eigenen Antwort ja schon geschrieben habe.
Hallo,
mein Tip:
betrachte nur den Querschnitt, also Halbkreis mit einbeschriebenem Rechteck.
Zeichne den Halbkreis so in ein Koordinatensystem, daß er nach oben gewölbt ist und die y-Achse den Halbkreis in zwei Hälften teilt.
Betrachte den Viertelkreis im ersten Quadranten:
Wenn sein Radius R ist, liegt der Radius r des Zylinders auf der x-Achse, während die Höhe h des Zylinders senkrecht von irgendeinem Punkt auf der x-Achse unterhalb des Viertelkreises den senkrechten Abstand von diesem Punkt aus zum Kreis bezeichnet. Dabei gilt nach dem Satz des Pythagoras:
R²=r²+h²
Wenn die Fläche des halben Rechtecks zwischen Viertelkreis und den beiden Koordinatenachsen maximal wird, wenn also gilt: r*h=max, wird auch das Volumen des Zylinders maximal, denn dieses ist auch nur von r und h abhängig.
h ist die Wurzel aus (R²-r²)
Somit kannst Du die nur noch von r (R ist eine vorher gewählte Konstante) abhängige Funktion f(r)=r*√(R²-r²) bilden, ihre Ableitung f'(r) auf Null setzen und so den Zylinderradius berechnen, für den der Zylinder in der Halbkugel ein maximales Volumen annimmt.
Du kannst auch f(r)=(R²-r²)^(1/2) schreiben.
Abgeleitet wird das nach der Kettenregel.
Herzliche Grüße,
Willy
"Wenn die Fläche des halben Rechtecks zwischen Viertelkreis und den beiden Koordinatenachsen maximal wird, wenn also gilt: r*h=max, wird auch das Volumen des Zylinders maximal, denn dieses ist auch nur von r und h abhängig."
Aber der Radius geht quadratisch ein (:-((
(siehe auch meine Antwort)
Volumen Zylinder Vz=p*r'^2*h
h und r sind nicht unabhängig von einander, das heißt man kann eine Beziehung zwischen diesen beiden aufschreiben.
Du brauchst also eine formel h(r) oder r(h), so dass du sie in Vz einsetzen kannst.
Dafür verwendest du den Satz von Pythogoras:
Formel für Zylindervolumen? h als Nebenbedingung über S D P.
Das ist mir klar. Über die Zylinderformel. dann hätte man r und h als Variablen, aber von R abhängig sein müssen. Was ist SDP??
Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich vermute mal, dass du einen kleinen Tipp- oder Rechenfehler hast, r = R * 0,8956
Müsste eigentlich der Wert für r sein, wenn man zur Probe r und h in die Formel einsetzt(R^2 = r^2+ h^2), dann kommt mit deinem r nicht R^2 raus.
Aber Vielen Dank