Wie liest man die Bildmenge/ Urbildmenge?
Kann mir jemand erklären, was diese Bildmenge und Urbildmenge da genau aussagen?
f(x)=2-5x
(die funktionsgleichung der Aufgabe)
ich habe die Aufgabe komplett gelöst, aber ich verstehe diese Schreibweise nicht. Ich frage mich z.B. woher bestimmte Zahlen plötzlich auftauchen also zb die -6 und warum da 5x einzeln steht ..
2 Antworten
Du musst unterscheiden, ob ein Zeichen zwischen Termen steht (z.B. "kleiner oder gleich" zwischen Zahlen) oder ob ein Zeichen zwischen Aussagen steht, was in deinem Text für den Doppelpfeil gilt. Die letzteren werden auch Junktoren genannt: "Verbinder" und kommen aus der Logik, die sich ja mit der Wahrheit und Falschheit von Aussagen beschäftigt.
Bei dir stehen gleich in der zweiten Zeile von b) vier Doppelpfeile. Einen Doppelpfeil setzt man zwischen zwei Aussagen, um auszudrücken, dass sie dasselbe besagen (nur anders ausgedrückt sind). Zum Beispiel besagt (für relle Zahlen x) die Aussage "x² = 9" dasselbe wie die Aussage: "x=3 oder x=-3".
Um die zweite Zeile von b) zu verstehen, schreibst du dir am besten alles das, was zwischen zwei aufeinanderfolgenden Doppelpfeilen steht, mal mit der Hand separat heraus, z.B. untereinander. Dann erhältst du 5 einzelne Aussagen, in der kein Doppelpfeil mehr vorkommt (den Anfangsteil und den "langen" Schlussteil mitgezählt) und die du mal für sich betrachten solltest.
Dann betrachtest du je zwei aufeinanderfolgende Aussagen unter diesen fünfen und versuchst zu verstehen, wieso sie für das x, von dem da die Rede ist, dasselbe besagen.
Der Anfang wäre: Wieso ist die Aussage, dass x in dem halboffenen Intervall [0,1[ liegt, gleichbedeutend damit, dass 0 kleiner oder x und x kleiner als 1 ist?
Das ist nun zwar ganz einfach, aber die später Fälle sind auch nicht sehr schwierig.
Du darfst nur nicht, wenn du einen Doppelpfeil siehst, unmittelbar nach dem ersten darauffolgenden Symbol das Lesen abbrechen, sondern musst erst alles, was bis zum nächsten Junktor (bei dir: Doppelpfeil) da steht, als eine Aussage insgesamt zur Kenntnis nehmen.
Man muss dazu mit Ungleichungen umgehen können, und das müsste bei euch behandelt worden sein. Zum Beispiel muss man wissen, dass die Aussagen
a <= b ,
5a <= 5b
dasselbe besagen. Ebenso, dass
a <= b,
-b <= -a
dasselbe besagen. (Ebenso für < statt <= )
Aus dem ersten erhältst du dann, dass
0 <= x < 1
dasselbe besagt wie
5·0 <= 5x < 5·1 , also auch wie 0 <= 5x < 5.
Aus dem zweiten erhältst du, dass
0 <= 5x < 5
dasselbe besagt wie
-5 < -5x <= -0, also auch wie -5 < -5x <= 0.
Und aus diesen beiden Schritten erhältst du, dass
0 <= x < 1
dasselbe besagt wie
-5 < -5x <= 0.
Damit ist erkannt, dass nach dem ersten und auch der zweite Doppelpfeil in der Zeile nach b) richtig ist: Die Aussage, die vor ihm steht, besagt dasselbe wie die Aussage , die nach ihm steht.
Wenn zwei Aussagen (über einen Wert x) dasselbe besagen, nennt man sie übrigens "gleichwertig" (oder "äquivalent"). Du siehst, dass gleichwertige Aussagen ganz verschieden aussehen können. Man muss daher genau dazwischen unterscheiden, ob Aussagen tatsächlich gleich (d.h. identisch formuliert) oder "nur" gleichwertig sind. Während die Gleichheit von Aussagen in der Mathematik ein unfruchtbarer Begriff ist (es steht ja einfach dasselbe noch einmal da!), gehört die Gleichwertigkeit (oder Äquivalenz) von Aussagen zu den Fundamentalbegriffen des mathematischen Schließens.
Denn es ist ein Gewinn an Einsicht, wenn man erkennt, dass zwei ganz verschieden aussehende Aussagen dasselbe besagen. Dafür ist die Zeile nach b) in deinem Text schon ein gutes Beispiel.
Als nächstes musst du also einsehen, dass die beiden Aussagen
-5 < -5x <= 0
und
-3 < 2 - 5x
gleichwertig sind, usw.
Sei A C X —> B C Y eine Funktion.
Dann heißt f(A) = { f(x) | x € A} das Bild von A unter f. Das sind also die Menge alle Funktionswerte, die durch das einsetzen des Arguments x € A entstehen.
g([0;1[) meint, dass man nun alle Funktionswerte ermitteln möchte, für das 0 <= x < 1.
Nun formt man auf allen drei Seiten so um, dass in der Mitte g(x) steht und hat dann sein Bild.
f^(-1)(B) = { x € X | f(x) € B} das Urbild von B umher f. Das sind die Menge aller Argumente, für dass f(x) € B.
Hier fragt man sich für welche x gilt :
-4 <= g(x) <= -1 , umformen nach x ergibt die Antwort und dann eben x € D_g beachten.
Vielen Dank, ich blicke schon deutlich mehr durch wie das ganze insgesamt aufgebaut ist. Leider kann ich das von den Zahlen her nach dem ersten Doppelpfeil nicht ganz nachvollziehen, also woher die zahlen genau kommen und warum die das gleiche aussagen wie das vor dem Doppelpfeil :/