Du darfst nicht eine Menge mit einer Relation auf dieser Menge verwechseln: "Wäre also eine Relation auf den natürlichen Zahlen, egal wie sie definiert ist, nur dann eine totale Ordnung, wenn sie die gesamte Menge der natürlichen Zahlen umfasst?" ist daher keine sinnvolle Frage. Eine Relation auf der Menge N der natürlichen Zahlen "umfasst nicht N", sondern ist eine Menge von Paaren natürlicher Zahlen.

Ein gutes Beispiel ist die Relation "teilt" auf N; sie besteht genau aus den Paaren (a,b) (mit a,b in N), bei denen b ein Vielfaches von a ist; also z.B. (3,12), (5,100), (2,2), (2,4) ... - aber nicht z.B. (12,4), denn 4 ist kein Vielfaches von 12. Weder (5,9) noch (9,5) gehört zu der Relation, weil weder 9 ein Vielfaches von 5 noch 5 ein Vielfaches von 9 ist. Man sagt in solchen Fällen: 5 und 9 sind bezüglich der Relation unvergleichbar. Als Symbol für die Relation "teilt" ist üblich: | . Statt zu sagen, dass ein Paar (a,b) ein Element von | ist, sagen wir: "a teilt b" und schreiben dafür: a|b.

(Allgemein benutzt man bei einer Relation R häufig die Schreibweise "aRb" statt zu sagen: "(a,b) ist Element von R".)

Bezüglich | tritt offensichtlich ganz oft der Fall ein, dass zwei Zahlen a, b unvergleichbar sind.

Es gibt aber Relationen, bei denen das nie passiert: Ein sehr wichtiges Beispiel dieser Art ist "kleiner oder gleich" (geschrieben: <=). Denn bei zwei natürlichen Zahlen a,b gilt stets a <= b oder b <= a. Anders gesagt: Je zwei natürliche Zahlen sind bezüglich <= vergleichbar. (Es kann sogar beides gelten: a <= b und b <= a, und zwar ist das genau dann der Fall, wenn a = b gilt.)

So kommt es zu einer wichtigen Definition: Eine Ordnungsrelation heißt totale Ordnung, wenn bezüglich ihr je zwei Elemente der betrachteten Menge vergleichbar sind. (Der Begriff der partiellen Ordnung ist allgemeiner, schließt aber totale Ordnungen nicht aus! Es muss bei einer partiellen Ordnung nicht unbedingt zwei unvergleichbare Elemente geben.)

Wenn dir der Unterschied zwischen | und <= völlig klar ist, ist das schon ein großer Schritt vorwärts. Ein weiteres instruktives Beispiel: Betrachte die Menge {1,2,3} und bilde ihre Potenzmenge, also die Menge, deren Elemente die Teilmengen von {1,2,3} sind. Dann sei R die Menge aller Paare (A,B) solcher Teilmengen, bei denen A eine Teilmenge von B ist.

Zum Beispiel gehört ({1},{1,3}) zu R, ({2},{1,3}) jedoch nicht, auch ({1,3},{2}) nicht. Also sind {2} und {1,3} unvergleichbar bezüglich R. Die Relation R ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, aber keine vollständige Ordnung.

Der Durchschnitt von X und Z spielt in der Tat die entscheidende Rolle hier.

Du kannst dir ja mal überlegen, welche Elemente davon zu (X\Y)\Z und welche davon zu X\(Y\Z) gehören.

Übrigens, bringt dich das Venn-Diagramm nicht auf die Idee, dass allgemein eine Inklusion zwischen (X\Y)\Z und X\(Y\Z) erfüllt ist?

Was heißt schon "den" ?

Sicher gibt es hervorragenden Mathematik-Unterricht, aber vielleicht nur 10%? Bekannt ist, dass oft Frustration und Angst entsteht. Bekannt ist auch, dass die, die ihren Mathematik-Unterricht so interessant fanden, dass sie das Fach studieren wollten, häufig im Studium gar kein Bein auf die Erde bekommen. Häufig, aber nicht immer passiert das. Denn es gibt auch die positiven Gegenbeispiele, die den Übergang zum Studium erfolgreich geschafft haben und gern an ihren Mathematik-Unterricht zurückdenken. Leider bilden die nicht die Mehrheit, auch wenn meine obigen "10%?" auf keinen exakten Daten beruhen.

Was ich nur mit Sicherheit sagen kann, ist: Der Mathematik-Unterricht ist oft unehrlich. Wer das Ziel hat, dass sich gewisse Formeln "sicher einprägen" mögen und dafür absurd künstliche Beispiele "mit Realitätsbezug" zum Berechnen irgendwelcher (uninteressanter) Daten heranzieht, an die man durch eine jener Formeln herankommt, hat das Fach Mathematik malträtiert. Die Schüler spüren das intuitiv und - welch Wunder - entwickeln eine negative Haltung zu ihm.

Dass andere Gebiete alle möglichen mathematischen Formeln benötigen, ist zwar nicht falsch, aber kein Anlass dafür, den Charakter des Faches zu verraten. Denn Mathematik lehrt das Gewinnen von Einsichten durch genaues Schließen - und zwar auf dem Niveau jeder Altersstufe. Schon wer den Unterschied erlebt hat zwischen "das habe ich eingesehen" und "das habe ich auswendig gelernt", hat vom Unterricht mehr profitiert als einer, der jede gewünschte Formel auswendig dahersagen kann.

Das Glücksgefühl, etwas wirklich einzusehen, wird viel zu wenigen zuteil. Das braucht (individuell verschieden viel) Zeit, Geduld, Hinwendung; alles Dinge, die man im Schulunterricht sehr oft nur sonntags findet :-) Man sieht es übrigens an den Augen, unverkennbar. Und das gilt nicht etwa nur für die Schule.

Ist eine Grundmenge gegeben und eine Teilmenge T dieser Grundmenge, so ist "T hoch c" eine Schreibweise für die Menge aller Elemente der Grundmenge, die nicht in T liegen. Das wird auch die Restmenge oder das Komplement von T in der Grundmenge genannt. (Da "Komplement" im Englischen "complement" heißt, erklärt sich die Benutzung des Buchstabens c bei dieser Schreibweise.) Das ist "das, was von der Grundmenge übrig bleibt, wenn man T wegnimmt".

Nimmt man aus der Grundmenge der ganzen Zahlen die geraden Zahlen weg, so bleiben die ungeraden Zahlen übrig. Das erklärt die Aussage des ersten Satzes von den beiden, die du wissen wolltest.

Für die zweite Aussage muss man wissen, dass genau die rationalen Zahlen ("Bruchzahlen" haben sich die Didaktiker dafür als Namen ausgedacht) es sind, deren Dezimalbruchentwicklung periodisch ist. ("Endlich" bedeutet nur, dass von einer bestimmten Stelle an nur noch Nullen folgen; das ist aber nur ein Sonderfall des Periodisch-Seins!). Nimmt man nun von der Menge aller reellen Zahlen die Menge der rationalen Zahlen weg (d.h.: Bildet man deren Komplementmenge in der Grundmenge der reellen Zahlen), so bleiben genau die reellen Zahlen übrig, deren Dezimalbruchentwicklung nicht periodisch ist. Denn in der Komplementmenge "fehlen" dann ja genau die mit periodischer Dezimalbruchentwicklung - die Menge der rationalen Zahlen.

Die Darstellungen mathematischer Theorien, ihr gesamter logischer Aufbau von den grundlegenden Definitionen bis hin zu den Hauptsätzen, sind menschliche Konstrukte. Die Kunst, Mathematik intersubjektiv verstehbar zu machen, ist im Laufe der Jahrhunderte immer weiter perfektioniert worden. Man könnte beim Studium der Darstellungen denken, hier würden mathematische Wahrheiten Stück für Stück von Menschen gemacht, weil sie das verstehende lesende Auge im Geiste förmlich vor sich aufgehen sieht.

Aber bevor eine Theorie schriftlich fixiert werden kann, haben Forscher (zu denen selbstverständlich auch geniale Frauen gehören, ohne dass man "Forschende" oder noch Perverseres sagen muss) langfristig nichttriviale Fragen gestellt: Und diese sind alle von dem Typus: "Wie ist das denn nun?", nie aber: "Was konstruiere ich mal als nächstes?". Man beobachtet mathematische Auffälligkeiten an Beispielen, vermutet dahinter eine Regelmäßigkeit, versucht eine solche zu formulieren und deren Gültigkeit zu beweisen. Jeder, der mathematische Forschung erlebt hat, wird ehrlicherweise bekennen, dass seine Fragen, Vermutungen und Beweisversuche Eingebungs-Charakter haben (verbunden mit jahrelangem Sammeln von Erfahrung durch aktiven Erwerb schon von anderen entwickelter mathematischer Schlussweisen), dass er dabei aber immer einer präexistenten Wahrheit auf der Spur ist.

Von dieser Tätigkeit, die den wahren Charakter kreativer mathematischer Arbeit bestimmt, sieht der Leser einer Darstellung der gefundenen Resultate aber (fast) nichts. Er verfolgt, wie "Stein auf Stein" gelegt wird, bis die Theorie (oder ein Ergebnis in einer Theorie) schließlich vollständig errichtet ist - und weiß nicht, dass dem die grundlegende Phase der Entdeckung zwingend vorausgeht.

Dass die Winkelsumme in jedem Dreieck 180° beträgt, kann kein Mensch "erschaffen", sondern jeder nur einsehen. Dasselbe gilt für den Satz des Pythagoras - wie für alle Resultate der Mathematik allgemein.

Jeder Schüler lernt Primzahlen kennen. Uralt ist die Frage, ob es von der Sorte Zahlen unendlich viele gibt. Man kann darauf nur "ja" oder "nein" antworten, aber was ist richtig? Zum Beweis für die Antwort "ja" verfügte bereits Euklid vor ca. zwei Jahrtausenden über einen genialen Schluss. Dadurch wurde nicht etwa die Unendlichkeit der Primzahlmenge "hergestellt", sondern nachgewiesen: Sie wurde entdeckt!

Du musst unterscheiden, ob ein Zeichen zwischen Termen steht (z.B. "kleiner oder gleich" zwischen Zahlen) oder ob ein Zeichen zwischen Aussagen steht, was in deinem Text für den Doppelpfeil gilt. Die letzteren werden auch Junktoren genannt: "Verbinder" und kommen aus der Logik, die sich ja mit der Wahrheit und Falschheit von Aussagen beschäftigt.

Bei dir stehen gleich in der zweiten Zeile von b) vier Doppelpfeile. Einen Doppelpfeil setzt man zwischen zwei Aussagen, um auszudrücken, dass sie dasselbe besagen (nur anders ausgedrückt sind). Zum Beispiel besagt (für relle Zahlen x) die Aussage "x² = 9" dasselbe wie die Aussage: "x=3 oder x=-3".

Um die zweite Zeile von b) zu verstehen, schreibst du dir am besten alles das, was zwischen zwei aufeinanderfolgenden Doppelpfeilen steht, mal mit der Hand separat heraus, z.B. untereinander. Dann erhältst du 5 einzelne Aussagen, in der kein Doppelpfeil mehr vorkommt (den Anfangsteil und den "langen" Schlussteil mitgezählt) und die du mal für sich betrachten solltest.

Dann betrachtest du je zwei aufeinanderfolgende Aussagen unter diesen fünfen und versuchst zu verstehen, wieso sie für das x, von dem da die Rede ist, dasselbe besagen.

Der Anfang wäre: Wieso ist die Aussage, dass x in dem halboffenen Intervall [0,1[ liegt, gleichbedeutend damit, dass 0 kleiner oder x und x kleiner als 1 ist?

Das ist nun zwar ganz einfach, aber die später Fälle sind auch nicht sehr schwierig.

Du darfst nur nicht, wenn du einen Doppelpfeil siehst, unmittelbar nach dem ersten darauffolgenden Symbol das Lesen abbrechen, sondern musst erst alles, was bis zum nächsten Junktor (bei dir: Doppelpfeil) da steht, als eine Aussage insgesamt zur Kenntnis nehmen.

Das nervt überhaupt nicht! Im Gegenteil: Ein angemessen formuliertes Dankschreiben an ihn wird ihn einfach freuen, besonders wenn daraus hervorgeht, dass seine Antwort Dir die Klärung gebracht hat.

Du siehst doch, dass dem Professor kein Zacken aus der Krone fällt, auf eine Frage in einem Mathematik-Forum von sich aus zu antworten.

Du würdest Dich wundern, wie schlicht und hilfsbereit gerade die amerikanischen Professoren an den Spitzenuniversitäten häufig sind!! (Natürlich nicht alle.) Ganz vielen ist das Eingehen auf die fachlichen Fragen und Bemühungen Jüngerer eine Selbstverständlichkeit. Die wollen, dass ihre Bücher und Arbeiten verstanden werden. Würde der Professor in Deinem Fall sonst überhaupt das Forum beachten?

Nur kleinere Lichter machen das Gegenteil und sorgen für Abstand zwischen den Studenten und ihrer Sphäre der Abgehobenheit!

Man könnte den ersten Bruch mit x erweitern und den zweiten mit 6+5x.

Dann erhältst du zwei Brüche mit demselben Nenner x(6+5x), wobei der erste Zähler dann 3x, der zweite Zähler 2(6+5x) ist.

Da die beiden Brüche jetzt "gleichnamig" sind (d.h. denselben Nenner haben, ausmultipliziert = 6x + 5x²), kannst du sie zu einem einzigen Bruch mit diesem Nenner zusammenfassen, wobei der Zähler die Summe der einzelnen Zähler ist, hier also gleich

3x + 2(6+5x)

( = 13x + 12 ).

Vielleicht ist das die gemeinte Zusammenfassung, was meinst du?

Also (13x + 12)/(6x + 5x²).

Könntest du denn z.B.

1000000000 : 343

schriftlich ausdividieren? (Es müsste dazu nicht ganz aufgehen! Und du dürftest auch noch so viele Nullen an die 1 anhängen, wie deine Lust zulässt!))

Dann mach bei 100/343 (=100 : 343) einfach dasselbe und setze dann das Komma richtig!

Das Ganze muss mit 0,... anfangen, denn 100 ist kleiner als 343, aber 1000 ist größer als 343, sogar größer als 2·343 (aber nicht größer als 3·343). Also weiß man schon, dass es so losgeht: 0,2....

Die richtige Ziffernfolge nach dem Komma erhältst du so wie ganz am Anfang angedeutet...

Davon hättest du jedenfalls mehr als vom Anklicken von irgendetwas auf irgendeiner Webseite!

Im Falle 0,33333..... ist es egal, aber prinzipiell ist die erste Version vorzuziehen. Denn:

Was ist "null Komma 357 Periode"?

0,357357357357.... ?

oder

0,357575757... ?

oder

0,357777777... ?

Setzt man das Wort "Periode" dagegen nicht ans Ende, sondern an die richtige Stelle, so ist

die erste Zahl "null Komma Periode 357",

die zweite Zahl "null Komma 3 Periode 57",

die dritte Zahl "null Komma 35 Periode 7".

Man würde also die drei Zahlen genau unterscheiden können, was natürlich wünschenswert ist. Also verwendet man das Wort "Periode" am besten an der (genauer: an einer) Stelle, von der an sich der gesamte nachfolgende Ziffernstring endlos wiederholt.

(Ich schrieb "genauer: an einer", weil es nach der allerersten auch eine spätere sein könnte: Es ist z.B. "null Komma Periode 35" dasselbe wie "null Komma 3 Periode 53".)

Die Konvergenzdefinition erfordert, dass es zu jedem eps > 0 ein N geben muss, so dass für alle n >= N gilt: .....

Wechselt man das vorgelegte eps, so wird dazu in aller Regel auch ein anderes N gehören. Je kleiner das eps ist, desto größer wird man das zugehörige N wählen müssen, damit hinterher die Abschätzung funktioniert.

Das heißt, das von euch offenbar "Mindestindex" genannte N ist keine feste Zahl, sondern von dem jeweiligen eps abhängig.

Daher wird gern mal die Schreibweise "N mit Index eps" benutzt, um diese Abhängigkeit zum Ausdruck zu bringen: damit man "nicht vergisst", dass das N zu jenem eps "gehört" und bei einem anderen eps dann eben in aller Regel einen anderen Wert haben wird.

Angst ist ein schlechter Ratgeber. Was glaubst Du, wie anders Du dastehst und wieviel es Dir bei Bewerbungen, Wortmeldungen in Diskussionen, eventuell Vorträgen nutzen wird, wenn Dir das freie Reden nichts mehr ausmacht. Du bist sonst bei allen Situationen obiger Art anderen unterlegen!

Und das gilt nicht nur für Bauingenieure...

Also pack' den Stier bei den Hörnern.

Ein guter Dozent weiß übrigens, dass man im 1.Semester (und noch einige Zeit mehr...) noch nicht souverän ist. Hoffentlich gerätst Du an einen solchen statt an ein armes Würstchen, das Studienanfänger fertig machen muss.

Du bist keineswegs zu alt dafür, darfst dir aber nicht vorstellen, so brillant zu werden wie die, die du als Stars erlebst!

Die Kosten sind ein anderes Thema. Klaviere kann man vielleicht irgendwo privat billig abstauben (neu oder aufgearbeitet im Laden sind sie natürlich sehr teuer). Aber Unterricht ist nicht billig, und du brauchst auch in Abständen einen Klavierstimmer (der davon lebt...). Eine Geige stimmst du jedesmal selbst (musst allerdings - in der Regel teure - Saiten kaufen); aber ein Klavier kannst du nicht selbst stimmen. Und ein ungestimmtes Klavier klingt grauslig und macht obendrein auf die Dauer dein musikalisches Gehör kaputt.

Wenn es mein Bogen wäre, würde ich zum Geigenbauer gehen. Der weiß das...

(Keine Hauruck-Handwerker-Methoden! Ein Bogen ist keine Holzleiste! Es kann völlig harmlos sein, aber ehe man's kaputtmacht - lieber zum Fachmann. Kann echt nicht alle Welt kosten.)

Da wird es eine Bedingung in der Prüfungsordnung geben. Wenn du Pech hast, haben sie für solche Anerkennungen eine reine Verwaltungstante eingestellt, die von Inhalten gar nichts versteht. Die geht dann rein formal vor. Ob es da Spielraum gibt, ist aber nicht sicher.

Ein Beispiel: Wenn man irgendwo einen Master im Lehramtsstudium abgelegt hat und überlegt sich, dass man auch einen 1-Fach-Master absolvieren möchte, ist es sehr fraglich, ob die angefertigte Masterarbeit dafür anerkannt wird! Denn die Art der Themenvergabe kann in dem einen Studiengang sich signifikant von der in dem anderen unterscheiden. Das kann aber dann eigentlich nur ein Dozent vom Fach beurteilen, nicht eine Verwaltungsangestellte; es sei denn, eine Anerkennung wäre durch irgendeine Bestimmung kategorisch ausgeschlossen.

Wenn in Italien der Mittwoch ein Feiertag ist, fällt die Schule dir ganze Woche aus (facciamo il ponte). Das ist in Deutschland (noch) nicht so.

Ansonsten ist es wie beim Vergleich der deutschen mit der italienischen Hölle: In der deutschen Hölle kannst du dich darauf verlassen, dass jederzeit der Stock zum Verprügeln und die heißen Kohlen zum Brennen der Sünder da sind; das ist alles wohlorganisiert. In der italienischen Hölle kannst du dich auf die Organisation überhaupt nicht verlassen: Mal fehlt der Stock, mal fehlen die Kohlen oder sie sind nicht heiß genug...

Für endlich-dimensionale reelle Vektorräume würde es genügen, von Teilmengen zu sprechen, die zugleich beschränkt und abgeschlossen sind. Will man die Schlüsse, die dort dann gültig sind, aber entsprechend in allgemeineren Strukturen durchführen, so stößt man auf Hindernisse. In ganz allgemeinen topologischen Räumen macht "Beschränktheit" gar keinen Sinn als Begriff (man hat ja nicht einmal eine Metrik!).

Man hat nun erkannt, dass die Rolle der beschränkt+abgeschlossenen Teilmengen im IR^n in beliebigen topologischen Räumen von den sog. kompakten Teilmengen übernommen werden. Die kompliziert wirkende (da nicht gut an Vorstellungen knüpfbare) Definition der Kompaktheit mit Hilfe des Überdeckungsbegriffs hat ihren Grund, dass man auch in allgemeinen Strukturen analytische Sätze beweisen möchte. Dazu reichen die "Gewohnheiten aus dem IR^n" bei weitem nicht aus. Der letzte Rest von "Endlichkeit", wie sie ja in Form der endlichen Dimension beim IR^n gegeben ist, wird in der abstrakten Definition der Kompaktheit an entscheidender Stelle sichtbar:

Eine Teilmenge T heißt kompakt, wenn jede beliebige offene Überdeckung von T eine endliche Teilüberdeckung enthält.

Sobald man also irgendeine Ansammlung X von offenen Teilmengen hat, in deren Vereinigung T enthalten ist, so muß es schon eine Auswahl von nur endlich vielen zu X gehörigen Mengen geben, in deren Vereinigung T enthalten ist. Egal wie riesig viele Mengen am Mengensystem X beteiligt sind - es muß immer möglich sein, darunter endlich viele zu finden, deren Vereinigung schon genügt, um T zu umfassen. Das muss man beweisen, um T als kompakt zu erkennen. Der Beweis fängt dann typischerweise so an: "Sei X irgendeine offene Überdeckung von T. Dann.... "

Walther.