Wie leite ich die erste Logarithmische Regel mit Eigenschaften her?
Folgende Aufgabe:
Wir definieren für x > 0 eine Funktion L(x) mit folgenden Eigenschaften:
dL/dx = 1/x und L(1) = 0.
Leite unter Verwendung dieser Eigenschaften, folgende Eigenschaft her:
L(x) + L(y) = L(xy).
Lösungsweg:
Schritt 1: H(x) := L(y*x) => dH/dx = 1/(y*x) * x = 1/x = dL/dx
Frage dazu: Wie leite ich L(y*x) ab? Geht das nur wenn ich sage L(y*x) = Log(y*x)?
Schritt 2: H(x) = L(x) + c
Frage dazu: L(y*x) ist das gleiche wie L(x) + c, heißt L(y*x) ist einfach eine andere Schreibweise und ich kann die Konstante bei jeder Stammfunktion immer in die Klammer setzen?
Schritt 3: H(1) = L(y * 1) = c
Schritt 4: L(yx) = L(x) + L(y)
1 Antwort
Antwort zu Schritt 1: Du leitest L(y*x) nach der Kettenregel ab: Äussere Ableitung ist nach Definition von L gerade 1/(y*x), innere Ableitung des Argumentes (y*x) ist gerade y*1.
Antwort zu Schritt 2: Da, wie in Schritt 1 bewiesen wurde, die Funktionen L und H dieselbe Ableitung besitzen, unterscheiden sie sich nur in einer Konstanten c. Es gilt also: L(y*x) = H(x) = L(x) + c.
Nein, ist es eben nicht: Du hast das bewiesen, indem Du die Ableitungen von H und L miteinander verglichen hast; damit hast Du diese spezielle Eigenschaft der Funktion L nachgewiesen, die offenbar eine der Eigenschaften von Log ist…
@ChrisGE1267 Also ist L(y*x) nur eine andere Schreibweise für L(x) + c? Die Ableitung von L(y*x) lässt sich aber nur machen, weil man weiß dass L(x) = logx ist richtig?