Mathe Lotfußpunktverfahren?
Lotfußpunkverfahren.
Hi kann mir jemand bei der Berechnung des Lotfußpunkted helfen? Die Ebene lautet : x—> (2 0 2) +r ( 1 1 2) + s( 2 3 5) und der Punkt P (5; -7 ; -8)
als Gleichungssystem habe ich: x=2+r+2s
y=r+3s
z=2+2r+5s
wie rechne ich das jetzt alles? die gleichungen verwirren mich nur noch mehr..
2 Antworten
Du solltest erstmal die Hesse-Normalform berechnen. Denn so kannst du den Abstand des Punktes P zur Ebene berechnen. Wenn du diesen Abstand dann, kannst du zu dem Punkt P den normierten Normalenvektor um den im Vorzeichen gewechselten Abstand gestreckt dazu addieren, um den Lotfußpunkt zu erhalten. Allgmein sieht es so aus (Vektoren sind fett gedruckt):
1. Schritt: HNF berechnen (hier sei E in Parameterform gegeben)
E: x = p + r u + s v
1.1. Normalenvektor berechnen
n = u × v
1.2. Normalenvektor normieren
ň = 1/|n| n
1.3. HNF aufstellen
E: ň • (x – p) = 0
E: ň • x – k = 0
(mit k = ň • p)
2. Schritt: Abstand von Punkt-Ebene berechnen (Den Punkt, dessen Lotfußpunkt F wir wissen wollen, nenne ich Q)
ň • Q – k = φ
|φ| ist der Abstand von Q und E.
3. Schritt: Lotfußpunkt berechnen
F = Q – φ ň
4. Schritt (optional): Zur Kontrolle kannst du schauen, ob F überhaupt in der Eebne liegt.
ň • F – k ≟ 0
Bei deinen Gegebenheiten sähe es so aus:
1. Schritt: HNF berechnen, z. B.
E: x = (2, 0, 2) + r (1, 1, 2) + s (2, 3, 5)
n = (1, 1, 2) × (2, 3, 5) = (–1, –1, 1)
|n| = √3 => ň = 1/√3 (–1, –1, 1)
E: ň • (x – p) = 0
E: 1/√3 (–1, –1, 1) • (x – (2, 0, 2)) = 0
E: 1/√3 (–1, –1, 1) • x = 0
Hier ist also k = 0, die Ebene geht also durch den Ursprung (0, 0, 0).
2. Schritt: Abstand von Punkt-Ebene berechnen
1/√3 (–1, –1, 1) • (5, –7, –8) = –2√3
3. Schritt: Lotfußpunkt berechnen
F = P – (–2√3) ň
F = (5, –7, –8) – (–2√3) 1/√3 (–1, –1, 1)
F = (3, –9, –6)
4. Schritt (optional): Zur Kontrolle kannst du schauen, ob F überhaupt in der Eebne liegt.
1/√3 (–1, –1, 1) • (3, –9, –6) = 0
Stimmt tatsächlich.
Bilde mittels Kreuzprodukt den Normalenvektor n = (-1│-1│1) und bringe die Gerade, gebildet aus n und P, mit der Ebene zum Schnitt S (3│-9│-6).
