Kann mir jemand erklären was dieses u mit dem Punkt darüber bedeutet?

Dass das eine Disjunkte vereinigung ist, also dass V_1 und V_2 keine gemeinsamen Elemente haben. Es ist also nur eine Normale Vereinigung, nur dass das Vereinigungszeichen dir auch die Information gibt, dass V_1 und V_2 disjunkt sind

Also ausgehend davon dass die V1 Knoten alle beispielsweise oben stehen und die V2 Knoten darunter müsste ich dann von der 1 zu allen anderen einen knoten ziehen, von der 2 dann aber nur zu den geraden Zahlen und bei der 3 aber nur zur 15, 18 und 30 usw.?

ja genau

Hängt natürlich von der Definition. Aber man will ja eigentlich eine Funktion haben. Deswegengibt den sogenannten Hauptwert einer Wurzel, das ist die lösung der Gleichung x^2 = c, dessen Realteil positiv ist (falls der Realteil 0 ist, wird die Lösung genommen, dessen Imaginärteil positiv ist).

Dein Ansatz ist schon korrekt.

Du stellst erst alle drei Gleichungen, auf, mit denen du bestimmst, für welche r eine Koordinate 0 ist.

Dann zählst du, für wie viele VERSCHIEDENE r mindestens eine der drei Gleichungen erfüllt ist.

Bei c ist ist z.b bei r= 3 (erste Gleichung ist wahr) oder bei r=1 (beide anderen Gleichungen sind Wahr) der Fall, es sind also 2 Spurpunkte.

Die d ist bei dir nicht korrekt, 0=0 ist für jedes r wahr, also ist die zweite Gleichung für jedes r wahr, es gibt also unendlich viele Spurpunkte.

Disclaimer: ich habe angenommen, dass deine Rechnungen korrekt sind, und deswegen nicht weiter geprüft.

Bei einer Diskreten Verteilung ist die Zähldichte an einer Stelle genau dann nicht 0, wenn die Verteilungsfunktion an der Stelle einen Sprung hat, und der Wert ist gleich der Sprunghöhe an der Stelle.

Die Sprunghöhe ist gleich der Differenz von dem rechtseitige Grenzwert und dem linksseitigen Grenzwert an der Stelle.

Wenn deine diskrete Verteilung nur ganzzahlige Werte annehmen kann, erhälst du die Zähldichte f(x) an der Stelle x, indem du einfach f(x) = P(X <= x) - P(X < x) = F(x) - F(x-1) berechnest, da P(X < x) = P(X <= x-1) gilt.

Und dann wurde folgendes gemacht, was ich nicht ganz verstehe:

Die Funktion wurde abgeleitet und man hat die Vorzeichen der einzelnen Faktoren angeschaut

anscheinend wurde durch Monotonieverhalten gezeigt, warum die Funktion immer kleiner als die Majorante ist, aber das verstehe ich nicht ganz.

Also die Funktion ist auf (-sqrt(n), 0) monoton steigend und auf (0, unendlich) monoton fallend, somit ist h auf dem Intervall (-sqrt(n), unendlich) im Punkt 0 maximal, weswegen h(x) <= h(0) gilt

Dann wurde die die Definition von h eingesetzt und umgeformt. Dann würde benutzt, dass e^x monoton ist

Bei der Ordinalskala kannst du nur bestimmen, ob etwas größer, kleiner oder gleich etwas anderes ist.

Beispiel: T-Shirt Größen, die mit S, M, L, ... Usw angegeben werden, die Größe L ist größer als M.

Bei einer metrischen Skala kann zusätzlich gemessen werden, um wie viele Einheiten ein Objekt größer als das andere ist. (Beispiel: Körpergrößen in cm, jemand der 180cm groß ist, ist 10cm größer als jemand, der 170cm groß ist.

Du brauchst hier kein L'Hospital, Oben hast du den Fall -unendlich - unendlich, der Grenzwert ist also -unendlich.

Unten ist 0+unendlich, der Grenzwert ist also unendlich.

L'Hospital wäre zum Beispiel anwendbar, wenn du den Fall unendlich- unendlich hast

Du kannst ja hier nachschauen, was damals in den Aufgaben vorkam:

https://www.mathematik-olympiaden.de/moev/aufgaben/aufgabenarchiv-2?view=aufgabenarchiv

Es ist sinnvoll, wenn du dir paar Geometrische Sätze anschaust, da es meist mindestens eine Geometrie Aufgabe geben wird, wo du die benötigen wirst. Bei den anderen Aufgaben sollte es reichen, wenn du fit bist, mathematische zusammenhänge zu erkennen, da ansonsten nicht so viel wissen gefordert wird. Es schadet aber nicht, wenn du dir nochmal unter anderem anschaust, wie man Gleichungssysteme löst oder wie die Teilbarkeitsregeln aussehen.

Wie kommst du von der Ungleichung 1<7 darauf, dass die Lösungsmenge {1, 7} ist?

Die Ungleichung 1<7 ist für jede reelle Zahl x Wahr, somit ist die Lösungsmenge gleich der Menge der reellen Zahlen.

Das erste ist die Varianz von allgemeinen Zufallsvariablen.

Das zweite gilt NUR für die Binomialverteilung.

Das dritte ist die Varianz für eine Stichprobe.

e_1 bis e_3 sind die Standardbasisvektoren des R^3, sodass a= a_1*e_1 + a_2*e_2 + a_3*e_3 gilt.

An sich reicht die letzte Zeile vollkommen aus, da das die Definition vom Standarddkalarprodukt ist. Die Schritte davor sind also eigentlich nicht nötig.

Ich demonstriere es Mal für eine dreistellige Zahl 100*a + 10* b + c.

Es gilt: 100 = 99+1, sowie 10 = 9+1

Du kannst die Zahl also darstellen als:

(99+1)*a+(9+1)*b+c = (99*a+9*b)+a+b+c

99*a+9*b ist immer durch 3 bzw durch 9 teilbar (da a, b und c ganzzahlig sind).

Die Zahl ist also genau dann wenn durch 3 bzw 9 teilbar, wenn a+b+c durch 3 bzw durch 9 teilbar ist.

Bei Zahlen mit mehr stellen funktioniert es genauso, denn 10^n-1 ist immer durch 9 teilbar.

Wie kommt man auf 0,45

Das ist von der Aufgabe vorgegeben.

wie berechnet man das Ergebnis für Wappen

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf Wappen kommt. Die Anzahl von Wappen ist dann binomialverteilt mit n=120 und der von dir bestimmten Erfolgswahrscheinlichkeit. Berechne damit den Erwartungswert mit der entsprechenden Formel.

Das Problem bei deinem Ansatz ist, dass die Stücke a und b nicht stochastisch unabhängig sind, da die Länge von a auch von b abhängt. Somit darfst du die Wahrscheinlichkeiten nicht einfach so multiplizieren. Außerdem erhälst du nicht automatisch ein Dreieck, wenn a und b beide gleichzeitig kleiner als die halbe länge sind.

Mein Ansatz:

Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Spaghetti eine Länge von einer Einheit hat (die Länge ist ziemlich irrelevant, da die Verhältnisse identisch bleiben).

Wir haben nun zwei Zufallsvariablen A und B.

A kann Werte in [0, 1] annehmen, B Werte in [0, 1-A].

Die Zufallavariable (A,B) ist dann gleichverteilt und nimmt Werte in einem Dreieck an.

Wir bestimmen nun den günstigen Bereich:

Aus der Bedingung a+b>c muss A+B >= 1/2 folgen. Aus den anderen beiden Bedingungen muss A<1/2 und B< 1/2 folgen.

Der gültige Bereich sieht also so aus:

Die Wahrscheinlichkeit dass ein Punkt in dem kleinen Dreieck liegt, ist gleich der Fläche des kleinen Dreiecks durch die Fläche des großen Dreiecks. Also (1/2*1/2*1/2)/(1*1*1/2) = 1/4.

Eigentlich ist das Ziel bei dem Algorithmus alle Paare zu markieren, die nicht äquivalent sind.

Die Diagonale darf hier also nicht markiert werden, da jeder Zustand immer äquivalent zu sich selbst ist.

Die Vorangehensweise geht eigentlich so:

1. Starte mit einer Leeren Tabelle.

2. Markiere jedes paar, wo ein Zustand akzeptierend ist und der andere nicht. (Denn diese Zustände können nicht äquivalent sein)

3. Iteriere nun durch jedes nicht markierte Paar. Schaue dann, auf welche Paare dieses Paar abgebildet werden können. Wenn mindestens eines dieser Paare markiert ist, wird das betrachtete Paar markiert (denn das Paar kann nicht äquivalent sein)

4. Wiederhole schritt 3 (eine Wiederholung = alle unmarkierten Paare betrachten), bis kein neues Paar markiert wird)

Die nicht markierten Paare sind dann äquivalent.

Zur einfachheit reicht es aus, wenn du nur die Einträge unterhalb der Diagonale betrachtest. Denn:

1. Die Diagonale ist immer nicht markiert

2. Äquivalenz ist eine symmetrische Relation, weswegen die Relationsmatrix am Ende symmetrisch sein wird.

Es ist aber einfach nur falsch, die Einträge auf der Diagonalen und über der Diagonalen zu markieren.

Hier haben wir angenommen, dass die Münzwurfe Disjunkt sind

Es wird ein Würfel geworfen. Und zwar exakt ein Mal. Es werden dort die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Möglichen Ergebnisse genannt, also die der Elementarereignisse. Und diese sind immer Disjunkt voneinander.

Sind Münzwürfe nicht unabhängig im allgemeinen, also z. B. bei normalen Münzen?

Wenn du eine Münze mehrmals hintereinander wirfst, wird normalerweise davon ausgegangen, dass die Ergebnisse der Würfe unabhängig sind. Hier wird aber wie gesagt ein würfel ein Mal geworfen.

Der Eintrag an der i. Zeile und j. Spalte von A*B^T ist gleich dem Skalarprodukt von der i. Zeile von A und der j. Zeile von B (mache dir das am besten klar, warum das so gilt).

Die Spur ist die Summe der Diagonaleinträge.

Für die positiv definitheit musst die Spur von A*B^T als Summe aufschreiben, und erkennen, dass jeder Summand nicht negativ ist, und nur 0 ist, wenn der jeweilige Eintrag 0 ist.

Für die Symmetrie ist der Fakt Spur(A) = Spur(A^T) hilfreich (warum gilt das?)

Bei der Linearität musst du A durch a*A ersetzen. Folge de Dinge sind dann nütlich: Matrizenmultiplikation ist Linear. Die Spur ist ein Linearer Operator. (warum?)

Wäre n=3 würden die Werte von 0 bis 3 gehen (da eben die Anzahl der Erfolge gezählt wird.) Das siehst du sogar in deinem zweiten Bild.

n=2 ist hier korrekt.

Woher weiß man, dass hier eine Binomialverteilung vorliegt?

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, die die Binomialverteilung haben müsste, und schaue dann, ob die Werte übereinstimmen.

Der einfachste Weg wäre es, dass du versuchst diese Polynome zu konstruieren. Du kennst ja die drei Nullstellen und den Wert an einer Stelle.

Wenn du die Eigenwerte berechnest, wirst du sehen, dass die Matrix 2 verschiedene Eigenwerte hat.

Beide Eigenwerte haben jeweils die algebraische Vielfachheit 1 (wieso?).

Und somit automatisch die Geometrische Vielfachheit 1 (wieso?).

Somit ist die Matrix Diagonalisierbar.