Nehmen wir erst zwei unabhängige zweidimensionale Zufallsvariablen A und B, die beide den Mittelwert 0 haben.

A hat die Kovarianz Matrix

1 0.5

0.5 1.

B hat die Kovarianzmatrix

1 -0.5

-0.5 1.

Was auffällt, ist, dass bei A und B jeweils beide Randverteilungen standardnormalverteilt sind (da dir Randverteilung nur von dem jeweiligen Eintrag der Hauptdiagonalen der Kovarianzmatrix abhängt).

Nehmen wir noch zusatlich noch die Zufallsvariable C, welche Bernoilliverteilt mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0.5 ist, und unabhängig von A und B ist.

Definiere nun (X, Y) = C*A + (1-C)*B

(Also nehmen wir mit einer Wahrscheinlich von 0.5 die Zufallsvariable A und sonst B)

(X, Y) Ist nicht normalverteilt, denn die Dichte hat die Form von einem Kreuz.

X und und Y, also die beiden Randverteilungen sind aber Standardnormalverteilt, da die Randverteilungen von A und B wie gesagt beide Standardnormalverteilt sind.

Wir haben somit ein Gegenbeispiel.

Drei Mal würfeln wird so nicht gut funktionieren, da die Wahrscheinlichkeit für die Summe 10 gleich 27/216 was größer als 1/9 ist, du kannst also nicht die einzelnen Summen zahlen von 1 bis 9 zuordnen, sodass jede Zahl gleich wahrscheinlich ist.

Spontan würde mir der Ansatz einfallen:

Zurdnung: (Würfelergebnis zu Zahl)

1, 2 => 0

3, 4 => 1

5, 6 => 2

1. Würfel den Würfel ein mal, und lies ab, welche Zahl aus dem Ergebnis rauskommt. Multipliziere das Ergebnis mit 3.

2. Würfel den Würfel ein mal, und lies ab, welche Zahl aus dem Ergebnis rauskommt. Addiere die Zahl zu dem Vorherigen Ergebnis.

3. Addiere zu dem Ergebnis 1.

Das ist dann deine Zahl.

Wenn also bei Schritt 1 eine 5 und bei Schritt 2 eine 3 gewürfelt wurde, ist das Ergebnis 3*2+1+1 = 8 (denn die 5 wird zu einer 2 und dann mit 3 multipliziert, die 3 wird zu einer 1 und drauf addiert, am Ende addiert du nochmal 1).

Du musst somit nur 2 mal würfeln.

Also ich bezeichne mal X als die Zufallsvariable, dessen Verteilung durch die empirische Verteilungsfunktion der Stichprobe gegeben ist.

Dann gilt für das erste Quartil q1:

P(X<= q1) >= 0.25

P(X>=q1) >= 0.75

Und für das dritte Quartil q3:

P(X <= q3) >= 0.75

P(X >= q3) >= 0.25

Daraus folgt:

P( q1 <= X <= q3) = P(X <= q3) - P(X < q1)

= P(X <= q3) - (1-P(X >= q1))

= P(X <= q3) + P(X >= q1) -1

>= 0.75 + 0.75 - 1 = 0.5

Ebenso gilt:

P( X <= q1 oder q3 <= X)

= P( X <= q1) + P(q3 <= X)

>= 0.25 + 0.25 = 0.5

Man sieht also, dass mindestens 50% der Daten zwischen q1 und q3 (inklusive der Grenzen) liegen, und dass mindestens 50% der Daten kleiner gleich q1 oder größer gleich q3 sind.

Im allgemeinen müssen es also nicht Exakt 50% sein, was der Fall ist, wenn es Daten gibt, die gleich q1 oder q3 sind.

Du hast versucht das Wurzelkriterium zu benutzen, hast aber ein Fehler gemacht.

Beim Wurzelkriterium betrachtet man lim sup |a_n|^(1/k)

In deinem Fall wird also der lim sup von |-1+1/k| = |1-1/k| bestimmt. Das Ergebnis ist hier somit 1, das Wurzelkriterium sagt also nichts aus.

Jedoch reicht hier schon das Trivialkriterium um divergenz zu zeigen, siehe die Antwort von eterneladam.

In Aufgabe 1.2 soll ein Histogramm gezeichnet werden, deswegen werden da auch die Rechteckshöhen bestimmt.

Und nein, bei der empirischen Verteilungsfunktion brauchst du nicht die Rechteckshöhen, sondern die kumulierte Wahrscheinlichkeit, da die Funktion dir angibt, wie groß der Anteil der Daten kleiner gleich dem gegebenen Wert ist.

Kann mir jemand erklären was dieses u mit dem Punkt darüber bedeutet?

Dass das eine Disjunkte vereinigung ist, also dass V_1 und V_2 keine gemeinsamen Elemente haben. Es ist also nur eine Normale Vereinigung, nur dass das Vereinigungszeichen dir auch die Information gibt, dass V_1 und V_2 disjunkt sind

Also ausgehend davon dass die V1 Knoten alle beispielsweise oben stehen und die V2 Knoten darunter müsste ich dann von der 1 zu allen anderen einen knoten ziehen, von der 2 dann aber nur zu den geraden Zahlen und bei der 3 aber nur zur 15, 18 und 30 usw.?

ja genau

Hängt natürlich von der Definition. Aber man will ja eigentlich eine Funktion haben. Deswegengibt den sogenannten Hauptwert einer Wurzel, das ist die lösung der Gleichung x^2 = c, dessen Realteil positiv ist (falls der Realteil 0 ist, wird die Lösung genommen, dessen Imaginärteil positiv ist).

Die erste Funktion die Integriert wird ist an der Stelle -1 nicht definiert, deswegen ist es ein uneigentliches Integral, welches durch den gegebenen Grenzwert definiert wird.

Die 2. Funktion ist an der Stelle 0 nicht definiert, weswegen das auch ein uneigentliches Integral ist.

(n über k) = (n über k) * 1^k * 1^(n-k)

Somit ist die Summe die da genannt wird nach 3.2.10 gleich (1+1)^n

Wenn ich mich nicht irre sollte deinen Taschenrechner einen Matrizen Modus haben.

Dort kannst du dann die Zeilenstufenform der Matrix bestimmen, der Rang ist dann die Anzahl der Zeilen die nicht 0 sind.

Das geht aber auch nur bei Matrizen die höchsten 4x4 groß sind.

Wie das genau geht, schaust du bitte selbst in der Anleitung deines taschenrechners nach (die ist online verfügbar), da wird es ausführlich erklärt.

Die korrekte Formulierung ist r, s element R

Also zwei Klausuren, beide 0, sowie 4 andere Noten, wobei eine 12 und der Rest 0 war?

Bitte mach das nächste Mal eine Liste, statt einen Satz, damit es einfacher zu verstehen ist.

Durschnitt der Klausuren: 0

Durchschnitt der anderen Noten: (0+0+0+12)/4 = 3

Gewichtes Mittel der beiden Noten: 2/3 * 3 + 1/3 * 0 = 2

Der Durchschnitt ist also 2.

So würde es passen wenn es exakt einen Studierenden geben würde und exakt eine Übungsgruppe.

Du sollst es aber für |I| Studierende und |Ü| Gruppen modellieren.

Dein Ansatz ist schon korrekt.

Du stellst erst alle drei Gleichungen, auf, mit denen du bestimmst, für welche r eine Koordinate 0 ist.

Dann zählst du, für wie viele VERSCHIEDENE r mindestens eine der drei Gleichungen erfüllt ist.

Bei c ist ist z.b bei r= 3 (erste Gleichung ist wahr) oder bei r=1 (beide anderen Gleichungen sind Wahr) der Fall, es sind also 2 Spurpunkte.

Die d ist bei dir nicht korrekt, 0=0 ist für jedes r wahr, also ist die zweite Gleichung für jedes r wahr, es gibt also unendlich viele Spurpunkte.

Disclaimer: ich habe angenommen, dass deine Rechnungen korrekt sind, und deswegen nicht weiter geprüft.

Bei einer Diskreten Verteilung ist die Zähldichte an einer Stelle genau dann nicht 0, wenn die Verteilungsfunktion an der Stelle einen Sprung hat, und der Wert ist gleich der Sprunghöhe an der Stelle.

Die Sprunghöhe ist gleich der Differenz von dem rechtseitige Grenzwert und dem linksseitigen Grenzwert an der Stelle.

Wenn deine diskrete Verteilung nur ganzzahlige Werte annehmen kann, erhälst du die Zähldichte f(x) an der Stelle x, indem du einfach f(x) = P(X <= x) - P(X < x) = F(x) - F(x-1) berechnest, da P(X < x) = P(X <= x-1) gilt.

Und dann wurde folgendes gemacht, was ich nicht ganz verstehe:

Die Funktion wurde abgeleitet und man hat die Vorzeichen der einzelnen Faktoren angeschaut

anscheinend wurde durch Monotonieverhalten gezeigt, warum die Funktion immer kleiner als die Majorante ist, aber das verstehe ich nicht ganz.

Also die Funktion ist auf (-sqrt(n), 0) monoton steigend und auf (0, unendlich) monoton fallend, somit ist h auf dem Intervall (-sqrt(n), unendlich) im Punkt 0 maximal, weswegen h(x) <= h(0) gilt

Dann wurde die die Definition von h eingesetzt und umgeformt. Dann würde benutzt, dass e^x monoton ist

Bei der Ordinalskala kannst du nur bestimmen, ob etwas größer, kleiner oder gleich etwas anderes ist.

Beispiel: T-Shirt Größen, die mit S, M, L, ... Usw angegeben werden, die Größe L ist größer als M.

Bei einer metrischen Skala kann zusätzlich gemessen werden, um wie viele Einheiten ein Objekt größer als das andere ist. (Beispiel: Körpergrößen in cm, jemand der 180cm groß ist, ist 10cm größer als jemand, der 170cm groß ist.

Tipp: Versuche erst eine Rationale Funktion zu finden, die keine Polstelle hat, und die gegen 0 geht, wenn x gegen unendlich bzw -unendlich geht.

Passe die Funktion dann durch verschieben und strecken so an, sodass sie die genannte Eigenschaften erfüllt.

Du brauchst hier kein L'Hospital, Oben hast du den Fall -unendlich - unendlich, der Grenzwert ist also -unendlich.

Unten ist 0+unendlich, der Grenzwert ist also unendlich.

L'Hospital wäre zum Beispiel anwendbar, wenn du den Fall unendlich- unendlich hast

Kann es sein, dass du das kongruenzzeichen statt = meinst? (Also 3 Striche)

Per Definition gilt, dass a und b kongruent bezüglich mod n sind, wenn a-b durch n teilbar ist.

Hier ist 12-27 = -15, also durch 5 teilbar und somit sind 12 und 27 kongruent bzgl mod 5