Wie berechne ich den Wert dieser Summe?

Die Summe habe ich vereinfachen können.
Es sieht zunächst aus wie die Reihe 1/k^2 welche den Wert π^2/6 hat. Aber ich bin hier etwas verwirrt, da der Nenner nicht k^2 ist sondern (k+1)^2.
Kann mir jemand den Lösungsansatz dazu geben?

Answer 1

[mihisu]

Es sieht zunächst aus wie die Reihe 1/k^2 welche den Wert π^2/2 hat.

Das ist gut, wenn du die Reihe mit 1/k² bereits kennst. Dann brauche ich da evtl. nicht weiter darauf eingehen. Aber der Wert dieser Reihe ist nicht π²/2, wie von dir angegeben, sondern π²/6.

Aber ich bin hier etwas verwirrt, da der Nenner nicht k^2 ist sondern (k+1)^2.

Da kann man über eine Indexverschiebung lösen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Indexverschiebung

Es hilft hier also quasi eine Substitution mit n = k + 1.

$\sum\limits_{k+1}^{\infty}\sqrt{\frac{9}{\left(k+1\right)^4}}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3}{\left(k+1\right)^2}=3\cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(k+1\right)^2}=\ldots$

Substituiere nun n = k + 1. Beachte, dass die Summe dann dementsprechend bei

$n_\text{start}=k_\text{start}+1=1+1=2$

als untere Grenze startet. Die obere Grenze bleibt wegen

$\lim\limits_{k\to \infty}\left(k+1\right)=\infty$

bei ∞. Diese Indexverschiebung liefert dann...

$\ldots = 3\cdot \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\ldots$

Nun kann man natürlich nicht direkt π²/6 für die dort auftauchende Reihe verwenden, da man bei n = 2 beginnt. Das kann man jedoch lösen, indem man den Summanden 1/1² für n = 1 ergänzt. Also einerseits + 1/1² ergänzen, um die Reihe bei n = 1 beginnen zu können, und andererseits - 1/1² ergänzen, um des gesamten Terms nicht zu verändern.

$\ldots = 3\cdot \left(-\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2}+\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)=3\cdot\left(-1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)=\ldots$

Und da kann man nun den bekannten Reihenwert nutzen.

$\ldots=3\cdot \left(-1+\frac{\pi^2}{6}\right)=-3+\frac{\pi^2}{2}\approx 1\text{,}93$

Answer 2

[RitterToby08]

Wenn du dir die Summe über 1/k^2 und 1/(k+1)^2 ansiehst, merkst du vielleicht, dass in beiden Reihen die fast die selben Summanden vorkommen. Der einzige Unterschied ist, dass die Reihe über 1/k^2 noch ein zusätzliches 1/1^2 enthält. Du kannst also die Reihe über 1/(k+1)^2 als die Reihe über 1/k^2 abzüglich 1 schreiben.

Answer 3

[Tannibi]

Das ist die gleiche Reihe, nur ohne das erste Element.