Wie geht die Partialbruchzerlegung hier?
Also wie kommt man auf A und B? Ich denke das, was ich da gerechnet hab ist falsch
3 Antworten
Du warst in der fünften Zeile schon praktisch fertig. Koeffizientenvergleich für den Term vor x und beim absoluten Glied liefert das Gleichungssystem mit 2 Unbekannten, das Du für A und B in Abhängigkeit von a lösen musst:
(1) A + B = -a
(2) -3A + 7B = 0, da das absolute Glied verschwindet…
Wenn man hyperkorrekt argumentieren will, kann man bemerken, dass {1, x, x^2,…} eine Basis des Vektorraumes aller Polynome in x bildet, die Basis der Monome - dies folgt dann aus der linearen Unabhängigkeit der Basiselemente…
Koeffizientenvergleich liefert:
Ab hier solltest Du dann klar kommen.
In Endeffekt steht doch da der Vergleich der beiden Zähler
-a·x + 0 = (A+B)·x + <etwas ohne x>
Und das kann nur dann passen, wenn das "<etwas ohne x>" = 0 ist, denn sonst geht das niemals allmeingültig auf.
PS: Das nennt man - wie in meiner Antwort geschrieben - einen Koeffizientenvergleich, da man die Faktoren vor Gleichem (hier vor x und 1) vergleicht.
-a * x / ((x + 7 * a) * (x - 2 * a))
(A * (x - 2 * a) + B * (x + 7 * a)) / ((x + 7 * a) * ( x - 2 * a))
((A + B) * x + 7 * a * B - 2 * a * A) / ((x + 7 * a) * ( x - 2 * a))
(1) A + B = -a
(2) 7 * a * B - 2 * a * A = 0
-----------------------------------
A = (-7 / 9) * a ; B = (-2 / 9) * a
-a * x / ((x + 7 * a) * (x - 2 * a)) = ((-7 / 9) * a / (x + 7 * a)) + ((-2 / 9) * a / (x - 2 * a))
Probe:
((-7 / 9) * a / (x + 7 * a)) + ((-2 / 9) * a / (x - 2 * a)) =
((-7 / 9) * a * (x - 2 * a) + (-2 / 9) * a * (x + 7 * a)) / ((x + 7 * a) * (x - 2 * a)) =
((-7 / 9) * a * x + (14 / 9) * a² + (-2 / 9) * a * x - (14 / 9) * a²) / ((x + 7 * a) * (x - 2 * a)) =
-a * x / ((x + 7 * a) * (x - 2 * a))
(A + B) ist der Koeffizient von x und 7 * a * B - 2 * a * A ist das Absolutglied.
Ein Term mit x kommt im Zähler vor, daher gleich -a und ein Absolutglied kommt nicht vor, daher gleich Null.
Danke, ich versteh nur nicht genau, warum Zeile (2) null wird