Wie beweist man |x + y| ≤ |x| + |y|?

"Es ist offensichtlich" ist leider kein mathematischer Beweis.

Answer 1

[DerRoll]

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Dreiecksungleichung_f%C3%BCr_reelle_Zahlen

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[DummeStudentin]

Oh, ich wusste nicht, dass man quadrieren darf. Dann ist der Rest natürlich easy.

[RedPanther]

@DummeStudentin

Ein Betrag ist über die Wurzel des Quadrats definiert... Warum sollte man das nicht nutzen dürfen?

Answer 2

[tomaushamburg]

Du könntest auch einfach alle Fälle aufzählen, also z.B. x und y beide positiv. Dann gilt offenbar |x+y| = |x|+|y|, wenn beide negativ sind, gilt das auch.

Wenn die Vorzeichen unterschiedlich sind, (z.B. x positiv, y negativ), dann gilt:

|x+y| = |x|-|y|, usw.

Answer 3

[MiraBellaBudda]

|x+y|<und= ||x|+|y|| = |x|+|y|

Answer 4

[DerMeccesTester]

|x+y| = max{x+y,-x-y}. Wegen x+y <= |x|+|y| und -x-y <= |x|+|y| folgt also sofort |x+y| = max{x+y,-x-y} <= |x|+|y|.