Wie beweist man, dass eine funktion 5. grades mind. 1 nullstelle hat?
ist ja logisch warum aber wie beweist man das mathematisch?
5 Antworten
Grundsätzlich beweist man eine Nullstelle immer, indem man f(x)=0 setzt. Also die Funktion mit 0 gleichsetzt. Der Grund hierfür ist relativ simpel. In einem Koordinatensystem mit 2 Ausrichtungen (x und y) haben wir immer dann einen Schnittpunkt mit der x-Achse, wenn wir den Y-Wert gleich 0 besitzen.
Die Möglichkeiten um eine Funktion des 5. Grades dann zu berechnen sind unter anderen:
Polynomdivision (macht aus dem 5. Grad dann 4. Grad)
Ausklammern von einem x, wenn möglich (macht aus dem 5. Grad dann 4. Grad und die erste Nullstelle ist bei [0|0])
Von dem Punkt aus kannst du dann weiter mit Substitution oder Polynomdivision arbeiten. Bis du irgendwann bei einer Funktion 2. Grades rauskommst - hier verwendest du die Mitternachtsformel.
In dem Fall würde ich mich der Antwort von MeRoXas anschließen. Solange die Funktion 5. Grades stetig ist (also keine fiesen Polstellen besitzt), kannst du hier über die Monotonie eine Nullstelle beweisen.
Einfach für einen angenommenen Wert vor der Nullstelle einen entsprechenden x-Wert in die Funktion einsetzen (oder den Limes gegen negativ Unendlich suchen), einen weiteren x-Wert nach der zu erwartenden Nullstelle einsetzen (bzw. Limes für positiv unendlich bestimmen) und voilà:
Wenn die berechneten y-Werte unterschiedliche Vorzeichen besitzen, so muss es zwischen den Funktionen zu einer Überschreitung der x-Achse gekommen sein. Nur wie eben gesagt setzt das voraus, dass es sich um eine stete Funktion handeln, welche nicht (z.B. gebrochen rational) über Polstellen verfügt.
Selbst bei einer nicht bekannten Funktion muss also diese Information gegeben sein. (Eventuell gibt es bessere Lösungen :-) aber diese Übersteigen dann leider meinen Kenntnisstand)
Ganzrationale Funktionen sind stetig.
Die Funktion kommt von links unten und geht nach rechts oben.
Dabei muss sie mindestens einmal die X-Achse schneiden.
(Ob das allerdings "mathematisch genug" formuliert ist, sei dahin gestellt)
Für einen Polynomfunktion f von ungeradem Grad gilt entweder:
oder
_____
In beiden Fällen nimmt f alle Funktionswerte im Definitionsbereich an (Zwischenwertsatz). Man sagt auch, dass f surjektiv ist. Insbesondere gibt es also mindestens ein x mit f(x)=0.
_____
Eine Argumentation ohne den Zwischenwertsatz:
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat ein komplexes Polynom f vom Grad n genau n Nullstellen. f faktorisiert demnach wie folgt, weil ℂ[x] ein Hauptidealring ist:
wobei die x_i die Nullstellen von f(x) sind.
Angenommen, f mit ungeradem Grad hätte keine reellen Nullstellen.
Dann ist jedes x_i eine komplexe Zahl. Die komplexen Nullstellen haben die Eigenschaft, dass auch die komplex-konjugierte Zahl zur Nullstelle wiederum eine Nullstelle ist. Also fallen jeweils zwei der oben stehenden Faktoren zu einem Nullstellenpaar zusammen. Dafür muss aber n durch 2 teilbar sein, also wäre n gerade.
Dies steht aber im Widerspruch zur Voraussetzung, dass der Grad von f(x) ungerade wäre, also muss f(x) mindestens eine reelle Nullstelle haben.
Korrektur:
In beiden Fällen nimmt f alle Werte der Zielmenge an (Zwischenwertsatz).
Eine Funktion 5. Grades kommt entweder von - unendlich und geht nach + unendlich oder umgekehrt (kann man durch lim x -> plus/minus Unendlich schnell zeigen).
Da eine Polynomfunktion stetig ist, muss sie vom Übergang von + nach - (oder umgekehrt) die x-Achse schneiden.
Einfach lim x->unendlich laufen lassen und lim x->-unendlich laufen lassen.
Dann hast du eine Monotone Funktion die durch jeden Wert der Abzisse laufen muss, da es keine Sprünge oder Unterbrechungen gibt
Unrecht hast du nicht, aber das ist nur möglich wenn du eine bestimmte Funktion hast.
Es geht hierbei darum den Beweis zu bringen ohne die Funktion zu kennen.