Wie berechnet man Winkel (?)?
Ich habe bis hier geschafft und weiß nicht mehr weiter kann irgendjemand mir helfen.
5 Antworten
Jetzt rechne ich einfach mal die Konstruktion nach:
Die Koordinaten seien B(0/0) sowie C(10/0)
Die Steigung m einer Geraden ist:
m = tan α
Damit lautet die Gerade BA:
m = tan 80° = 5,671
BA: y = 5,671 x
Gerade CA:
m = -tan 50° = -1,192
CA: y = -1,192 x + b
C(10/0) eingesetzt:
0 = -11,92 + b
b = 11,92
CA: y = -1,192 x + 11,92
Beide Geraden schneiden:
BA = CA
5,671 x = -1,192 x + 11,92
x = 1,737
y = 5,671 * 1,737 = 9,85
A(1,737 / 9,85)
Ermittlung von D:
BD: y = 1,732 * x
CD: y = - 5,671 x + b
C in CD:
0 = - 56,71 + b
b = 56,71
CD: y = - 5,671 x + 56,71
CD und BD schneiden:
1,732 * x = - 5,671 x + 56,71
7,403 x = 56,71
x = 7,66
y = 1,732 * x = 13,267
D(7,66 / 13,267)
Steigung AD:
m2 = (13,267 - 9,85) / ( 7,66 - 1,737) = 0,577
m1 = m(CA) = -1,192
Schnittwinkel zwischen 2 Geraden:
tan α = (m1 - m2) / (1 + m1*m2) = (-1,192 - 0,577) / (1 + (-1,192)*0,577) = 5,666
arctan 5,666 = 80°
Und nun endlich:
? + 80° + 70° = 180°
? = 30°
Ich habe mich an Hand des Bildes dazu verleiten lassen, das Problem mit elementar geometrischen Mitteln zu lösen . Andere haben auch diesen Weg probiert.
Bin gar nicht auf die Idee gekommen , sinus oder Koordinaten zu nutzen
Gut : Dummerweise antwortet der FS nicht darauf , ob man sinus & Co nutzen darf
Das ist doch schon mal was. Aber jetzt wirds in der Tat etwas tricky.
Wir haben noch zwei unbekannte Winkel γ und ?
Wir haben aber auch zwei Informationen, und deshalb kriegen wir die raus:
Innensumme der Winkel in einem Dreieck = 180°:
70° + γ + ? = 180°
γ + ? = 110°
Innensumme der Winkel in einem beliebigen Viereck = 360°:
(20° + 60°) + (50° + 30°) + (40° + ?) + (γ + 50°) = 360°
γ + ? = 360° - 250° = 110°
Dreieck ACD:
30° + 40° + γ + ? = 180°
γ + ? = 110°
Hmm, das klappt doch nicht, weil immer γ + ? = 110° rauskommt. Nun wüsste ich auch nicht mehr, wo man noch irgendeine andere Information herkriegen soll. Andererseites sind die beiden Winkel durch die Konstruktion festgelegt und nicht variabel, also muss es irgendeine Lösung geben.
Gauss58 schreibt: kann man konstruieren , deshalb müsste man auch den Winkel berechnen können.
Das ist ja auch mein Argument...aber wie?
... indem man schrittweise die Dreiecke berechnet.
Hatte ich ja zu erst auch gemacht, aber das führt am Ende nur zu α + ? = 110°
Auch der Cosinussatz hilft da am Ende nicht weiter, hatte ich auch probiert...nun aber die rechnerische Lösung gefunden.
Habe jetzt die Lösung gefunden, siehe oben.
Das erstaunliche: die ganzen anderen Winkel hätte man gar nicht berechnen müssen. Die gegebenen reichen.
Der gesuchte Winkel beträgt 30°.
Da die Figur konstruiert werden kann, kann sie auch berechnet werden. Der Maßstab ist egal. Setze z.B. BC = 1 und bezeichne den Schnittpunkt als S. Dann kannst Du schrittweise mit den üblichen Formeln der Dreiecksberechnung den gesuchten Winkel bestimmen.
Da die Figur konstruiert werden kann.............das sehe ich auch . Aber man muss doch die Grundlinie festlegen in ihrer Länge . Würde mit einer anderen Länge ein anderer Winkel herauskommen ? Ich glaube eigentlich nicht.
Die Berechnung des Winkels ist unabhängig von der Länge der Grundlinie.
Nein, das sind ähnliche Figuren. Der Maßstab lässt die Winkel invariant.
Kannst du das nochmal genauer erklären, weil ich finde, dass es eine sehr gute Idee ist. Ich verstehe es aber noch nicht ganz.
Wenn man von BC = AB = 1 ausgeht, kann man mit den gegebenen Winkeln und Sinus- und Kosinussatz alle Stücke nach und nach berechnen.
Zuletzt hat man sin ? / AM = sin 70° / AD also ? = arcsin(AM * sin 70° / AD)
Und das macht am besten formal, denn bei den vielen Zwischenschritten und Rundungen kann ich mir kaum vorstellen, dass am Ende AM * sin 70° / AD genau gleich 0.5 ist.
Vielleicht geht es ja auch irgendwie elementargeometrisch.
Das ist doch eine gute Übung zur Dreiecksauflösung:
1) AB = BC = 1 (per Definition)
2) BS, CS, AC Sinussatz
3) AS Differenz zu AC
4) SD Sinussatz
5) AD Kosinussatz
6) ? Kosinussatz
Kann man so machen. Ob der Aufgabenersteller das so vorgesehen hat?
Die Frage ist in der Tat, ob der Winkel berechnet werden soll (dafür gibt es Möglichkeiten) oder ob ein exakter Beweis mit elementaren geometrischen Lehrsätzen gefordert ist.
Wenn man die Seiten CB und DA verlängert, gibt es einen Schnittpunkt H. Interessanterweise ist HB = BD. Wenn man das beweisen kann (Winkelsätze am Kreis etc.), hat man auch den Beweis, dass der gesuchte Winkel 30° beträgt. Das wirft eine andere Perspektive auf die Aufgabe. In dieser Richtung könnte ich mir einen geometrischen Beweis vorstellen.
Hier die Berechnung, die ich vorgeschlagen habe, zusammengefasst:
S ist der Schnittpunkt der Geraden AC und BD
BC = 1
AS = p ; SD = q ; AD = r ; a = gesuchte Winkel in Rad ; k = gesuchte Winkel in Grad
https://www.wolframalpha.com/input/?i=p%3Dsin%2880%C2%B0%29%2Fsin%2850%C2%B0%29-sin%2860%C2%B0%29%2Fsin%2870%C2%B0%29+and+q%3Dp*sin%2880%C2%B0%29%2Fsin%2830%C2%B0%29+and+r%3D%28p%C2%B2%2Bq%C2%B2-2pq*cos%2870%C2%B0%29%29%5E%281%2F2%29+and+a%3Darcsin%28sin%2870%C2%B0%29*p%2Fr%29+and+k%3Da*180%2Fpi
Das ergibt k = 30° und ist, wie gefordert, eine Berechnung, aber kein elementargeometrischer Beweis.
Anm.: Link zu wolframalpha komplett kopieren
ich glaube, das ist nicht machbar.
Wenn man es konstruieren und anschließend messen kann, sollte man es auch herleiten und berechnen können. Dass der eine Winkel 80° und der andere 30° ist, ist ja bereits bekannt. Es fehlt noch der Weg dorthin ...
Ich habe nicht behauptet, dass ich die Lösung parat habe ;-)
schön , dass du da auch nicht weiter kommst .
Ich bekam aus zwei Dreiecken auch nur die selbe Info .
ich habe CA und DA mal verlängert , aber da kam ich auch nicht weiter.
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Gauss58 schreibt: kann man konstruieren , deshalb müsste man auch den Winkel berechnen können.
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