Wenn man 1+1/2 +1/4+1/8+1/16...?
Rechnet und das hält so fortführt was kommt dann raus unser Mathelehrer hat gesagt da kommt 2 raus aber er hat gesagt er erklärt später warum aber ich habe keine Lust zu warten, kann mir das jemand erklären
15 Antworten
Nimm ein Blatt Papier und leg es vor dir auf den Tisch.
Dann nimm ein zweites Blatt und schneide es in der Mitte durch. Leg die Hälfte neben das erste Blatt. Den Rest schneidest du wieder in der Mitte durch. usw.
Mit jedem Schritt kommst du der Fläche von zwei Blatt Papier immer näher und näher. Wenn du das unendlich oft machst (was zwar in der Praxis nicht geht, in der Mathematik aber schon), dann hast du die zwei Blatt voll.
Das heißt: Die unendliche Summe ist gleich 2. Die Folge der endlichen Summen konvergiert gegen 2. Die unendliche Summe ist der Grenzwert der Folge der endlichen Summe (wenn dieser Grenzwert denn existiert).
dann hast du die zwei Blatt voll...............genau das ist mein Problem . Optisch ist es voll , nur ist bei Schritt 10000 immer noch ein Rest von 1/(2 hoch 10000) ..........mir ist nie ganz klar geworden , ob man wirklich " = 2 " schreiben darf.
Nun ja, du betrachtest einen Limes und ein Limes kann ein genaues Ergebnis besitzen. An sich würde man mathematisch korrekt ja auch nicht +... schreiben, sondern einen Limes und ein Summenzeichen über die Elemente einer Folge benutzen und da gibt es dann ein korrektes Ergebnis mit =2
Genau, die Pünktchen-Schreibweise ... irritiert, auch wenn man weiß, was gemeint ist.
Es kommt nicht zwei raus sondern es konvergiert gegen 2.
Stell dir einen Kuchen vor: 1/2er Kuchen + ein Viertel + ein Achtel... dann wird das iwann fast noch ein Kuchen sein.
Grüße
die frage ist immer noch klar für mich ...........kann man nun sagen : : : = 2 oder muss man sagen : geht gegen 2 ?
Richtig ist glaube ich: Der Grenzwert IST 2, die Folge konvergiert GEGEN 2
Wenn du den Limes benutzt kannst du das, meines Wissens nach, am Ende gleich 2 setzen.
Wenn du auf der summe oben unendlich hast ist das gleiche wie wenn du den limes von n gegen unendlich mit n als obere Grenze der summe hast.
Somit hat diese unendliche Summe dann den Grenzwert als tatsächlichen wert
wahrscheinlich so ähnlich wie dieses andere Phänomen : 0.9per = 1...............Jetzt mal naiv gefragt : wenn es doch = 2 ist , warum bricht die Reihe nicht ab , wenn 2 schon erreicht ist .
Weil die 2 durch endlich viele Schritte nicht erreicht wird, sondern nur durch unendlich viele. Und zu sagen, sie bricht nach unendlich vielen Schritten ab, ist natürlich Unsinn, das ist ja gerade das Wesen der Unendlichkeit.
2 wird dann nicht erreicht, wenn Su die Summe irgendwo abbrichst, aber das tust Du nicht.
Man bringe alle Werte ( auch die folgenden ) auf einen Nenner und addiere dann...... egal wie "glatt" 2 kann am Ende niemals dabei herauskommen.
Doch. Nach unendlich vielen Schritten ist das gleich. Nach endlich vielen Schritten fehlt immer noch was, aber hier sollen ja unendlich viele Summanden addiert werden, nicht nur endlich viele.
Nochmal für alle. Natürlich gilt für jede natürliche Zahl k, dass die - endliche - Summe
ist, das heißt, solange ich nur endlich viele Brüche addiere, erreiche ich die 2 nie, sondern die Folge dieser Summen konvergiert nur gegen 2.
Aber sobald ich die unendliche Summe betrachte, gilt
Warum? Weil die unendliche Summe genau so definiert ist - als der Grenzwert der Folge der endlichen Summe.
Wenn man diese Unterscheidung zwischen der Folge von endlichen Summen und ihrem Grenzwert verwischt, dann wird es übrigens auch philosophisch lustig.
Mal nach Zeno, Achill und der Schildkröte googlen.
Zenon hat allerdings auch ein Eigentor geschossen, nämlich mit dem Start-Paradoxon: Ehe ein Läufer eine bestimmte Strecke s zurücklegt, muss er die Hälfte davon bewältigen, zuvor davon usw..
Wäre, so Zenon, die Strecke unendlich unterteilbar, so bräuchte der Läufer schon zum Loslaufen unendlich lange.
Der Witz an der Sache ist, dass er dabei davon ausgeht, unendlich viele endliche Zeitspannen müssten etwas unendlich Langes ergeben - dabei hatte er selbst gerade aufgezeigt, wie man eine endlich lange Strecke in unendlich viele endlich lange Teilstrecken unterteilen kann.
Ich versuche es dir bildhaft zu erklären.
Am Anfang hast du 1 Glas. Daneben stellst du nun ein zweites. Dieses füllst du nun zur Hälfte (1/2). Im nächsten Schritt füllst du nochmal die Hälfte von dieser Hälfte (1/4). Damit fährst du nun fort. Also immer die Hälfte der restlichen Menge auffüllen. Das kannst du ewig weitermachen. Du wirst niemals das Glas überfüllen, sondern dich der Grenze des Glases nähern. Zum Schluss ist die Füllmenge jedoch so gering, dass sie gegen Null geht, also nicht beachtenswert ist. Dadurch ergibt sich bei unendlicher Wiederholung der Wert 2.
Und jetzt mal zu der Frage - ist das 2 oder konvergiert das gegen 2...
Was du hier betrachtest ist eine unendliche Summe von Zahlen.
Für unendliche Summen von Zahlen kann man nur den Grenzwert betrachten, also den Wert, dem sich man sich mit ENDLICH vielen Schritten immer mehr nähert (will sagen: ich kann den Rest, der unbedeckt bleibt, beliebig klein machen). WEnn es so einen Wert gibt, dann ist das der Grenzwert der Reihe, und das ist per Definition der Wert, der GLEICH der unendlichen Summe ist, wenn man gedanklich, die Schritte unendlich oft durchführt.