Was ist in der Mathenatik, Sinh. Cosh, Tanh? Für was braucht Man das? Wie rechnet man damit?

Das sind die sogenannten Hyperbelfunktionen "sinus hyperbolicus", "cosinus hyperbolicus" und "tangens hyperbolicus". Sie haben den Namensbestandteil Sinus/Cosinus/Tangens, weil sie sehr ähnliche Eigenschaften haben wie die entsprechenden Winkelfunktionen, und den Namensbestandteil "hyperbolicus", weil sie an der Einheitshyperbel definiert werden können, so wie die Winkelfunktionen am Einheitskreis.

Auch, wenn die Funktionen im Reellen sehr unterschiedlich aussehen, so lassen sie sich doch durch Funktionalgleichungen und Differentialgleichungen ausdrücken, die sich von den entsprechenden Gleichungen für die Winkelfunktionen nur durch ein Vorzeichen unterscheiden.

Z. B. folgt aus

f''(x) = -f(x)

f(x) = a sin(x) + b cos(x)

und aus

f''(x) = +f(x)

f(x) = a sinh(x) + b cosh(x)

(mit beliebigen Konstanten a und b)

und so, wie sin und cos eindeutig bestimmt sind durch

• sin(x-y) = sin(x) cos(y) - cos(x) sin(y)
• cos(x-y) = cos(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
• lim {x -> 0} sin(x) / x = 1

sind sinh und cosh eindeutig bestimmt durch

• sinh(x-y) = sinh(x) cosh(y) - cosh(x) sinh(y)
• cosh(x-y) = cosh(x) cosh(y) - sinh(x) sinh(y)
• lim {x -> 0} sinh(x) / x = 1

Wenn du "komplexe Zahlen" kennst: im Bereich des Komplexen sind die Winkelfunktionen und die Hyperbelfunktionen sogar nahezu identisch ("Drehung" im Argumentbereich und ggf. im Wertebereich):

• sin(i x) = i sinh(x)
• cos(i x) = cosh(x)
• tan(i x) = i tanh(x)

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Verwendungen:

Der Hyperbelkosinus als "Kettenlinie" (die Linie, die ein frei hängendes Seil / eine frei hängende Kette (mit unendlich kleinen Kettengliedern) bildet) wurde schon in vorigen Antworten erwähnt.

Mit dem Hyperbeltangens kann man "logistisches Wachstum" beschreiben (Wachstum einer Population in einer Umgebung mit begrenzter Kapazität, die bei sehr niedrigen Populationsstärken praktisch exponentiell wächst und deren Wachstum bei Populationsstärken nahe der Kapazitätsgrenze praktisch exponentiell gedämpft ist).

Nach der Speziellen Relativitätstheorie ist eine geradlinig-gleichförmige Bewegung dasselbe wie eine Drehung, bei der eine Raumrichtung teilweise in die Zeitrichtung "gedreht" wird und die Zeitrichtung teilweise in diese Raumrichtung. Allerdings wird diese "Drehung" nicht durch die Winkelfunktionen sin und cos beschrieben, sondern durch die Hyperbelfunktionen sinh und cosh.

Die Addition von Geschwindigkeiten in der Speziellen Relativitätstheorie entspricht genau dem Additionstheorem des Hyperbeltangens, weshalb manche Autoren auch die "Rapidität" einführen - die Rapiditäten werden im Speziell-Relativen einfach addiert. (Rapidität θ = artanh(v), bzw. Geschwindigkeit v = tanh(θ))

Wenn man ein Seil (z.B. Hochspannungsleitung) an zwei Punkten befestigt und durchhängen lässt, folgt der Kurvenverlauf der cosh-Funktion. Wenn man das weiß, kann man z.B. die wirkenden Zugkräfte berechnen.

Das sind die hyperbolischen Funktionen. Definiert durch e-Funktionen:

sinh(x) = (e^x-e^-x)/2

cosh(x) = (e^x+e^-x)/2

tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)

Wie bei den trigonometrischen Funktionen gibt es auch hier alle möglichen Identitäten

bzgl. der Anwendung meine ich mich an Mechanik zu erinnern, dass uns unser Prof erzählt hat, wenn ein Seil durchhängt, das man an zwei Seiten hält, dass das dann durch cosh(x) beschrieben wird

cosh/sinh sind Abkürzungen für die Summe/Differenz von Exponentialfunktionen. Da dies häufig vorkommt, hat man dafür eine Abkürzung festgelegt um sich Schreibarbeit zu ersparen. Weiters verhalten sich sinh/cosh in einem gewissen Sinne ähnlich wie sin/cos.

Viel mehr steckt da aber nicht dahinter.

Beispiel:

Vierpol-Kettenmatrix einer elektrischen Leitung der Länge l mit Wellenwiderstand W und Ausbreitungsbelag γ:



Z.B. wird die Kettenlinie durch die hyperbolische Funktion Cosinus Hyperbolicus (cosh) beschrieben.