Taylorentwicklung am Entwicklungspunkt?

Hi ihr Lieben,

ich muss für die Funktion f:R->R mit f(x) = cosh(x), und g:R->R mit g(x)=sinh(x) jeweils die Taylorentwicklung im Entwicklungspunkt x_0 = 0 bestimmen.

Hier steht aber nicht bis zu welchen Grad bspw. bis 3. Grades oder so? Was macht man dann?

Normalerweise hätte ich jetzt die Ableitung gebildet und dann jeweils diese Formel angewendet...

Answer 1

[mihisu]

Hier steht aber nicht bis zu welchen Grad bspw. bis 3. Grades oder so? Was macht man dann?

Du sollst die Reihe nicht irgendwann abbrechen, um eine Taylorpolynom eines bestimmten Grades zu erhalten. Sondern die Reihe geht unendlich weiter. (In der Formel im Bild in deiner Frage siehst du ja auch entsprechend ein „∞“ als obere Summationsgrenze.)

Normalerweise hätte ich jetzt die Ableitung gebildet und dann jeweils diese Formel angewendet...

Naja. Du könntest allgemein zeigen, dass

$\sinh^{(n)}(x)=\begin{cases}\sinh(x) & \text{für }n\text{ gerade}\\\cosh(x) & \text{für }n\text{ ungerade}\end{cases}$

und damit

$\sinh^{(n)}(0)=\begin{cases}0 & \text{für }n\text{ gerade}\\1 & \text{für }n\text{ ungerade}\end{cases}$

ist. Damit hast du dann allgemein die n-te Ableitung der sinh-Funktion am Entwicklungspunkt gegeben. Damit kannst du dann die gesuchte Taylorreihenentwicklung angeben.

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Ansonsten könntest du auch die Beziehung

$\sinh(x)=\frac{1}{2}\cdot \left(e^x - e^{-x}\right)$

und die Reihenentwicklung

$e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$

der Exponentialfunktion nutzen, um

$\sinh(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)!}x^{2k+1}$

bzw.

$\sinh(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!} x^{n}\quad\text{mit }a_n=\begin{cases}0 & \text{für }n\text{ gerade}\\1 & \text{für }n\text{ ungerade}\end{cases}$

zu erhalten, was dann der gesuchten Taylorreihenentwicklung entspricht.

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Für cosh(x) kann man dann analog vorgehen.

Comments

[Mila1sweet]

Dankeschön für die Mühe. Jetzt ist mir die Aufgabe klar!!!

Answer 2

[Jangler13]

Da du nicht das Taylorpolynom n. Grades bestimmen sollst, sondern die Taylorentwicklung, ist dein Endergebnis eine Unendliche Summe.

Wenn du aber die ersten 3 Ableitungen bestimmst, sollte dir etwas auffallen, was die Reihenentwicklung etwas einfacher macht.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Answer 3

[Enzi1]

Vermutlich reicht es bis zum dritten Grad, da die Höheren Ableitungen vernachlässig klein werden

Comments

[DerRoll]

Es sind die allgemeinen Forrmen gefragt, das ist auch nicht weiter schwierig.

Answer 4

[DerRoll]

Die Taylorreihenentwicklung kann allgemein bestimmt werden, verwende

sinh'(x) = cosh(x), cosh'(x) = sinh(x), sinh(0) = 0, cosh(0) = 1 sowie die Darstellung m =2n für gerade und m = 2n-1 für ungerade Indizes.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 5

[Maxi170703]

Diese Funktionen können als unendliche Summe dargestellt werden, also als Taylorentwicklung

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Maschinenbaustudent, RWTH Aachen