An welchen Stellen ist diese Funktion differenzierbar?
Hallo!
Gegeben sei die Funktion f(x) = sinh(x)cosh(x) und ich soll herausfinden, an welchen Stellen diese Funktion differenzierbar ist. Ich weiß, dass es mit dem Differenzialquotienten geht, aber nachdem ich die Identitäten von sinh(x) und cosh(x) eingesetzt habe (Darstellungen als e-Funktionen) und nachdem ich weiter vereinfacht habe und die Regel von l'Hopital anwende, kommt der Fall 2/0 heraus, was nicht mit l'Hopital berücksichtigt ist. Ich habe keinen Rechenfehler (alles 10× kontrolliert), aber es wäre hilfreich, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte. Danke im Voraus!
Vielen Dank für die Antworten! Ich habe es jetzt doch geschafft! Eine Minusklammer fehlte, und der Ausdruck cosh(x0) lässt sich automatisch über die Identität cosh(2x0) = sinh^(x0) + cosh^2(x0) in den Ausdruck sinh^2(x0) +cosh^2(x0) überführen, womit die Differenzierbarkeit über ganz IR nachgewiesen ist. VIELEN Vielen Dank für die Antworten!!!
3 Antworten
f(x) = sinh(x) * cosh(x)
f´(x) = cosh(x) * cosh(x) + sinh(x) * sinh(x)
f´(x) = (cosh(x)) ^ 2 + (sinh(x)) ^ 2
Da f´(x) keine undefinierten Stellen hat ist f(x) überall differenzierbar.
Ist vielleicht zu einfach von mir gedacht um als Beweis zu gelten, das musst du selbst entscheiden.
sinh(x) und cosh(x) sind überall differenzierbar und folglich auch das Produkt.
(sofern ihr hattet das sinh(x) und cosh(x) differenzierbar sind)
Wenn du weißt das e^x differenzierbar ist kannst du mithilfe der Kettenregel und der Summenregel für die Differenziation auch die Differenzierbarkeit von sinh(x) und cosh(x) für ganz R nachweisen.
Ist etwas einfacher als es mit dem Differenzialquotienten nachzuweisen.
Hast du schon L’Hopital auf L’Hopital angewendet? Falls nicht, na dann aber los!
Davon habe ich sogar schon gelesen...wie funktioniert das beim Fall 2/0 ? Wie läuft das ab? Angenommen ich habe meinen Term, bei dem ich l'Hopital anwende und der Fall 2/0 kommt raus. was soll ich dann machen ?
kenne ich schon aber die Implikation ist einseitig...wenn eine Funktion differenzierbar ist, dann hat sie keine undefinierten Stellen (Sprungstellen). anderstrum gilt das nicht: Wenn eine Funktion keine undefinierten Stellen hat (Sprungstellen), muss sie nicht automatisch differenzierbar sein. Z.B. die Betragsfunktion ist an der Stelle x=0 definiert, trotzdem ist sie an der Stelle x=0 NICHT differenzierbar!