Warum ist die Wurzel aus einer Zahl immer eine irrationale Zahl?
kurze Begründung wäre hilfreich, habe das noch nicht ganz verstanden, danke im Voraus :)
8 Antworten
Da scheint es doch einige Verwirrung zu geben ...
Rationale Zahlen sind diejenigen, die sich als Bruch zweier Ganzer Zahlen darstellen lassen.
Irrationale Zahlen sind die Zahlen, die sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen.
Aufgrund dieser Definitionen haben diese beiden Mengen keine einzige gemeinsame Zahl.
Sie alle gehören jedoch zu den Reellen Zahlen, die wiederum Teilmenge der komplexen Zahlen sind.
spontan keine Begründung ein weshalb die Zahl unendlich "ungenau" ist.
Es gibt keine "unendlich ungenaue Zahl". Zahlen sind immer genau. Es ist nur so, dass sich einige Zahlen im Dezimalsystem nicht genau schreiben lassen, weswegen es im Dezimalsystem für diese nur Näherungswerte gibt.
Du würdest doch sicher auch nicht auf die Idee kommen, chinesische Namen wäre "ungenau", bloß weil die in unserem 26-Buchstabensytem nicht exakt geschrieben werden können, und man daher nur näherungsweise Schreibweisen wie "Peking" oder "Beijing" für die chinesische Hauptstadt, oder für Maos Nachnamen die Schreibweisen "Dezong" und "Tse-tung" verwendet.
Man kann im Alphabet der 26 Buchstaben nicht alles präzise schreiben, man kann im Alphabet der 10 Ziffern nicht alles präzise schreiben. Daraus folgt weder, dass chinesische Namen ungenau wären, noch dass irrationale Zahlen ungenau wären.
Die Aussage stimmt ja nicht. Wurzel(1)=1, Wurzel(4)=2, Wurzel(9)=3, ... alles rationale Zahlen.
Vielmehr gilt: Wenn natürliche Zahl keine Quadratzahl ist, dann ist ihre Wurzel irrational.
Also Wurzel(2), Wurzel(3), Wurzel(5) etc sind irrational. Ein Beweis für die Irrationalität von Wurzel(2) steht hier: http://tinyurl.com/6khe4v2
Angenommen Wurzel(2) wäre eine rationale Zahl. Dann könnte man sie als vollständig gekürzten Bruch schreiben:
Wurzel(2) = m/n
Quadrieren:
2=m²/n²
mal n²:
2n² = m²
Also muss m² gerade sein, also auch m, das heißt m = 2s, s natürliche Zahl.
2n² = (2s)²
2n² = 4s²
n² = 2s²
Also muss auch n² gerade sein, also auch n.
So wenn m und n gerade sind, sind beide durch 2 teilbar:
Also kann m/n nicht ein gekürzter Bruch sein, da man ja mit 2 kürzen kann.
Also kann Wurzel(2) keine rationale Zahl sein.
Die Aussage in der Fragestellung ist falsch. Es gibt durchaus auch rationale Wurzeln und zwar sogar unendlich viele. Denn jede Zahl, die eine Quadratzahl ist ( also 1, 4, 9, 16, 25 usw.) hat eine rationale Wurzel (nämlich 1, 2, 3, 4, 5 usw.).
Die Aussage ist falsch. Sei a eine beliebige Quadratzahl, insbesondere also natürlich. Dann gibt es ein natürliches b, so dass b^2 = a. b ist dann die Quadratwurzel aus a.
Richtig ist, dass es rationale Zahlen gibt, deren Quadratwurzel nicht rational ist. Der Körper der rationalen Zahlen ist also nicht unter der Operation "Wurzel ziehen" abgeschlossen.
wäre noch zu klären, WARUM irrationale überhaupt entstehen können. da wir damals nen ziemlich guten Lehrer hatten könnte es sogar sein dass ich den Grund kenne, jedenfalls fällt mir spontan keine Begründung ein weshalb die Zahl unendlich "ungenau" ist.