Stetigkeit auf rationalen/irrationalen Zahlen untersuchen?
Hallo, wir haben in unserer Analysisvorlesung behandelt, dass die rationalen Zahlen "dicht" in den reellen Zahlen liegen. Ich habe aber mit dieser Aufgabe Schwierigkeiten:
Ich vermute bei (i), dass die Antwort ja ist, aber formal begründen kann ich das nicht. Bei (ii) bin ich mir sehr unsicher. Ich kann mir allgemein bei solchen Fragen bezüglich der Stetigkeit/Differenzierbarkeit von Funktionen auf rationalen und irrationalen Zahlen kaum etwas Anschauliches vorstellen. Wie löse ich diese Aufgabe und wie geht man allgemein bei solche Aufgaben vor?
2 Antworten
(i) Verwende das Folgenkriterium für Stetigkeit. Beachte das für JEDE Folge x_i € Q die gegen x € R konvergiert gilt das sowohl f(x_i) = f(x) wie auch g(x_i) = g(x). Betrachte nun f(x_i) - g(x_i).
(ii) Setze für x € Q h(x) := f(x) und für x € R definiere h(x) := lim(f(x_i)) für eine beliebige Folge x_i € Q die gegen x konvergiert. Zeige dabei das die Definition unabhängig ist von der speziellen Wahl dieser Folge.
Ich kann mir allgemein bei solchen Fragen bezüglich der Stetigkeit/Differenzierbarkeit von Funktionen auf rationalen und irrationalen Zahlen kaum etwas Anschauliches vorstellen.
Du SOLLST dir auch gar nichts anschauliches Vorstellen. Im Gegenteil, bei derartigen Fragen, die tiefgehend das Konstrukionsprinzip der reellen und rationalen Zahlen verwenden ist es HINDERLICH sich irgend etwas Anschauliches vorzustellen. Verwende ausschließlich die dir gegebenen Definitionen und bereits erreichten Folgerungen.
Genauer kann man die reellen Zahlen sogar als Grenzwerte von Cauchy-Folgen definieren. Und genau dieses Konstruktionsprinzip wird dann auch für h angewendet.
Hinweis: Beider Konstruktion in (ii) mußt du übrigens dann auch noch zeigen das für eine reelle Folge die gegen x konvergiert ebenfalls h(x_i) gegen h(x) geht.
Wie genau zeige ich dass für eine reelle Folge die gegen x konvergiert ebenfalls h(x_i) gegen h(x) geht? Und bzgl. deiner Definition von h: Ist dann nicht h quasi schon durch f auf ganz R definiert? Auf Q haben beide den gleichen Wert, und auf R\Q ist h durch lim(f(x_i)) definiert, wobei x_i gegen x konvergiert. Da x_i rational ist und f auf Q stetig ist, ist doch lim(f(x_i)) dann einfach f(x), oder? Verstehe ich da was falsch? Dann wäre ja einfach h=f und über die Stetigkeit von f auf R\Q wurde nichts angenommen
Zunächst, wie kommst du darauf dass f überhaupt auf R definiert ist? Und ein wenig selbst mußt du schon üben, du kannst z.B. einen Widerspruchsbeweis machen oder die einzelnen reellen Folgenglieder durch den Grenzwert von rationalen Gliedern ersetzen.
Ja, aber es muss dort nicht stetig sein, zumindest ist darüber eben nichts ausgesagt. Tatsächlich gibt es aber keine Funktion die nur au Q stetig und auf R\Q unstetig ist. Der Beweis dafür erfordertcaber Handwerkszeug was du noch nicht zur Verfügung hast, siehe das zweite Kapitel von
Genau, aber wenn man h bei irrationalen x als lim f(x_i) definiert, wobei x_i rational ist und gegen x konvergiert dann ist doch weil f auf Q stetig ist, dieser limes einfach gleich f(x) oder? Dann steht da doch einfach in der Definition h=f auf ganz R
Nochmal, über die Eigenschaft von f(x) für x irrational ist nichts voraus gesetzt. Du setzt mit deiner Definition einfach voraus dass f da stetig ist. Dass das so sein muss ist zwar richtig, aber eu bist noch mindestens vier Semester nicht dazu in der Lage das zu zeigen.
Meinst du ich setze das voraus weil ich das Folgekriterium hier anwende? Aber ich wende das doch auf eine rationale Folge an, oder muss der Grenzwert der Folge für dieses Kriterium zwingend auch rational sein? Kannst du mir erklären wo ich die stetigkeit bei x irrational voraussetze?
Wenn du von vorneherein h(x) = f(x) an der irrationalen STelle setzt setzt du voraus das f(x) da stetig ist. Du mußt eine stetige Fortsetzung finden, die unabhängig vom Wert von f(x) an der betreffenden Stelle ist. Dass dieser wie bereits erwähnt tatsächlich gleich der von mir verwendeten Definition sein muß weißt du eben noch nicht.
Ach, ich verstehe jetzt, ich hab das Folgekriterium falsch angewandt, so wie ich es habe würde es ja heißen dass f in x irrational auch stetig ist. Danke. Kannst du mir dann einen Tipp geben, wieso die Wahl von x_i die Definition von h nicht beeinflusst? Ich stehe da auf dem Schlauch, es hat doch bestimmt etwas damit zu tun, dass f auf Q stetig ist. Weiß aber nicht, wie ich da ein Folgenkriterium konstruieren kann.
Du musst Dir klar machen, dass eine irrationale Zahl immer als Potenzreihe rationaler Zahlen darstellbar ist. In jeder Epsilon- Umgebung einer reellen Zahl gibt es auch eine rationale Zahl. Wenn Du jetzt diee Eigenschaft der Stetigkeit benutzt, kannst Du per indirekten Beweis zeigen, dass beide Aussagen richtig sind.
Danke das ist sehr hilfreich! Bei (ii) nutzt du doch aus, das man für jede irrationale Zahl a eine Folge rationaler Zahlen finden kann, die gegen a konvergiert, oder? Z.B. eine rationale Folge die nach und nach die Nachkommastellen auf die von a erweitert.