Stetigkeit auf rationalen/irrationalen Zahlen untersuchen?
Hallo, wir haben in unserer Analysisvorlesung behandelt, dass die rationalen Zahlen "dicht" in den reellen Zahlen liegen. Ich habe aber mit dieser Aufgabe Schwierigkeiten:
Ich vermute bei (i), dass die Antwort ja ist, aber formal begründen kann ich das nicht. Bei (ii) bin ich mir sehr unsicher. Ich kann mir allgemein bei solchen Fragen bezüglich der Stetigkeit/Differenzierbarkeit von Funktionen auf rationalen und irrationalen Zahlen kaum etwas Anschauliches vorstellen. Wie löse ich diese Aufgabe und wie geht man allgemein bei solche Aufgaben vor?
2 Antworten
(i) Verwende das Folgenkriterium für Stetigkeit. Beachte das für JEDE Folge x_i € Q die gegen x € R konvergiert gilt das sowohl f(x_i) = f(x) wie auch g(x_i) = g(x). Betrachte nun f(x_i) - g(x_i).
(ii) Setze für x € Q h(x) := f(x) und für x € R definiere h(x) := lim(f(x_i)) für eine beliebige Folge x_i € Q die gegen x konvergiert. Zeige dabei das die Definition unabhängig ist von der speziellen Wahl dieser Folge.
Ich kann mir allgemein bei solchen Fragen bezüglich der Stetigkeit/Differenzierbarkeit von Funktionen auf rationalen und irrationalen Zahlen kaum etwas Anschauliches vorstellen.
Du SOLLST dir auch gar nichts anschauliches Vorstellen. Im Gegenteil, bei derartigen Fragen, die tiefgehend das Konstrukionsprinzip der reellen und rationalen Zahlen verwenden ist es HINDERLICH sich irgend etwas Anschauliches vorzustellen. Verwende ausschließlich die dir gegebenen Definitionen und bereits erreichten Folgerungen.
Du musst Dir klar machen, dass eine irrationale Zahl immer als Potenzreihe rationaler Zahlen darstellbar ist. In jeder Epsilon- Umgebung einer reellen Zahl gibt es auch eine rationale Zahl. Wenn Du jetzt diee Eigenschaft der Stetigkeit benutzt, kannst Du per indirekten Beweis zeigen, dass beide Aussagen richtig sind.