Man kann die Kugel, bzw., ein Ellipsoid als Hyperfläche im R^3 charakterisieren.
Für eine Kugel haben wir,
x^2 + y^2 + z^2= R^2,
für ein Ellipsoid (eine re-skalierte Kugel), haben wir,
a^(-2)*x^2+b^(-2)*y^2+c^(-2)*z^2 = 1
Wir lösen nun mehr nach z>0 (Halb-Ellipsoid) auf,
z = c*(1-a^(-2)*x^2+b^(-2)*y^2)^(1/2)
Nach Aufgabenstellung soll die Melone ein Rotationselliposid sein, was zur Gleichheit (nach Wahl einer geeigneten Karte), a = b führt. Dier erlaubt die Vereinfachung,
z = (c/a)*(a^2-(x^2+y^2))^(1/2).
Wir führen nun Zylinderkoordinaten ein,
x^2 + y^2 = r^2, phi = arctan(y/x), z =z und berechnen das Volumen. Da wir einen Rotationskörper vorliegen haben,muss 0 <= phi <= 2*pi, aufgrund der Positivitätsforderung des Radikanden in der Gleichung für z,muss 0 <= r <= amit r>0 nach Definition der Zylinderkoordinaten.
Daraus folgt dann,
V(Melone) = int_{Rot-Ellipoid}dV
=2*int_0^(2*pi)dphi*int_(0)^(a)dr*r*int_(0)^(z(r))*r
= 2*pi*c/a int_0^(a^2)dr^2(a^2-r^2)^(1/2).
=2*pi*c/a*[-2/3*(a^2-x^2)]_0^(a^2)
=4*pi/3*c*a^2,
was genau mit dem Ergebnis,V_Ellipsoid(a,b,c)=4*pi/3*a*b*c übereinstimmt, wenn a=b, was exakt die Annahme der Rotationssymmerie ist.
VG,
dongodongo.