Wurzel aus Nichtquadratzahlen - rational?
Guten Abend Kann man sagen, dass alle Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, alle irrational sin?
12 Antworten
Richtig - einfachster Beweis, den ich kenne:
Es sei n eine natürlich Zahl, die aber keine Quadratzahl ist. Es ist dann klar, dass Wurzel(n) keine ganze Zahl sein kann.
Könnte die Wurzel von n vielleicht rational sein? Dann müsste es zwei natürliche Zahlen a und b geben, so dass:
(a/b)² = n
(denn rationale Zahlen sind ja die, die man als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner schreiben kann).
Ein Bruch, der noch nicht gekürzt wäre, kann immer soweit gekürzt werden, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind. Dann geht es nicht mehr weiter zu kürzen. Wir können also annehmen, dass der Bruch a/b schon vollständig gekürzt ist (dh a und b sind teilerfremd). b muss größer als 1 sein, denn sonst wäre a/b ja eine ganze Zahl, und diese Möglichkeit scheidet ja schon aus.
Quadrieren ergibt nun einfach:
(a/b)² = a² / b²
Könnte sich a²/b² zu einer ganzen Zahl kürzen? Wenn a/b die Wurzel aus n sein soll, müsste ja a²/b²=n sein.
Aber durch Quadrieren entstehen keine neuen Primteiler. Das Quadrat einer Zahl hat immer dieselben Primteiler wie die ursprüngliche Zahl selbst (überleg dir da mal selbser, Stichwort: Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegenung).
Also, wenn a und b teilerfremd waren, dann sind a² und b² immernoch teilerfremd. Also lässt sich der Bruch a²/b² nicht kürzen. Und der Nenner b² kann auch nicht 1 sein, denn b selbst war ja schon größer als 1, wie oben erwähnt.
Also ist a²/b² keine ganze Zahl und kann also schon garnicht gleich n sein.
Die Wurzel aus n (wenn n keine Quadratzahl ist) kann also niemals als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner geschrieben werde. Sie kann also nicht rational sein. Also ist Wuzel(n) irrational.
Hallo!
Wenn eine natürliche Zahl keine Quadratzahl ist, so läßt sie sich in zwei voneinander verschiedene Zahlen als Produkt zerlegen. Seien n, m diese Zahlen, mit n=! m und n * m=N, so gilt das Folgende:
sqrt(n * m)=sqrt(n) *sqrt(m)
Nun muss man folgende Fälle unterscheiden, nämlich einmal, dass die betrachtete Zahl gerade und einmal ungerade ist. Falls sie gerade ist, so gilt
N=2k
und somit
sqrt(N)=sqrt(2) * sqrt(k)
da die Wurzel aus 2 bekannterweise irrational ist, ist der Fall gegessen. Für den anderen Fall gilt
N=2k+1
und somit
sqrt(N)=sqrt(2k+1)
Hier läßt sich keine so einfache Antwort geben, da man sich die Primzahlzerlegungen ansehen muss. Aber was man feststellen konnte, ist, dass alle Quadratwurzeln aus Primzahlen irrational sind.
MFG
Hallo mathegeek007. Zu deinen Argumenten habe ich eine Frage.
Du schreibst, dass die Wurzel aus einer geraden Zahl sich umschreiben lässt in Wurzel(2) * Wurzel(k)
Das ist so. Es ist auch richtig, dass Wurzel(2) irrational ist. Mir ist nur nicht klar, wie man schließen kann, dass Wurzel(2) * Wurzel(k) irrational ist. Es gibt auch Quadratzahlen, die sich in gleicher Weise bilden lassen, zum Beispiel Wurzel(2) * Wurzel(8). Hier ist Wurzel(2) eine irrationale Zahl und Wurzel(8) auch, aber nicht Wurzel(2) * Wurzel(8).
Nun hast du zwar in deinem ersten Satz die Betrachtung von Quadratzahlen ausgeschlossen, aber dennnoch sollte mein Beispiel verdeutlichen, dass man nicht einfach daraus schließen kann, dass ein Produkt zweier Wurzeln irrational ist, wenn ein Faktor irrational ist.
Das müsstest du noch irgendwie zeigen.
Das Argument mit sqrt(N)=sqrt(2k+1) habe ich überhaupt nicht verstanden. Hattest du dich da in etwas verrannt?
Hallo Suboptimierer!
Ja, du hast völlig recht, da waren meine Augen wohl schneller als mein Verstand. Mein erstes Argument hast du erfolgreich widerlegt, da sqrt(2) * sqrt(8)=sqrt(16)=4 wohl kaum irrational ist.
Ich muss dazu sagen, dass ich iwie von Anfang an kein so gutes Gefühl bei meinem Beweis hatte, da ich echt der naiven Annahme war, dass das Produkt zweier irrationalzahlen keine rationalzahl ergeben würde.
Zum zweiten Fall: Naja wenn du eine ungerade Zahl hast, musst du die Wurzel aus einer ungeraden Zahl, die ich mal 2k+1 genannt hab, ziehen. Und das ist deshalb nicht so einfach, weil ungerade Zahlen keine sehr einfache Struktur dafür haben. In dem Sinne kann ich das dann auch auf den ersten Fall zurückführen, wenn k eine ungerade Zahl ist, dann muss dort wieder die Wurzel gezogen werden usw... arrrgh hat einen sehr schönen Beweis geschrieben, der obendrein auch noch richtig ist :)
Danke für deinen Hinweis!
MFG
Hallo enaritud,
Nein, das kann man nicht sagen, denn es ist leicht möglich z.B. zwei Drittel zu Quadrieren, die Wurzel von 4/9 muss dann natürlich wieder 2/3 ergeben. Man kann 4/9 natürlich auch als dezimalbruch darstellen, aber das ändert nichts am Ergebnis! Und 2/3 ist nun einmal eine Rationale Zahl!
Wenigstens Einer, der abseits von platten Formulierungen mal echt über Definitions- und Wertemengen nachdenkt.
Wenigstens Einer, der abseits von platten Formulierungen mal echt über Definitions- und Wertemengen nachdenkt.
Die Definitionsmenge ist in der Fage angegeben: Es ist die Menge der natürlichen Zahlen. Was genau verstehst du daran nicht?
Wurzel von 4/9
Was genau ist an der Formulierung "Kann man sagen, dass alle Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die..." so schwer zu verstehen? 4/9 ist keine natürliche Zahl.
Ds lässt sich auch recht einfach beweisen: Jede positive reele Zahl r lässt sich als
r=m+a/b
schreiben, wobei b eine natürliche Zahl ist (damit also auch größer Null) und a sowie m eine natürliche Zahl inklusive der Null ist. Weiter sollen Folgende Vorgaben erfüllt sein, die die Allgemeinheit der Aussage nicht berühren: a<b und a/b sei vollständig gekürzt, d.h. a und b enthalten keinen gemeinsamen Teiler außer der 1. Insbesondere darf dann a kein Vielfaches von b sein. Nun betrachten wir eine positive Zahl x, (könnte zunächst durchaus auch reel sein). Wenn deren Wurzel eine reele Zahl r ist muss auch x=r² gelten. Mit der "m-Schrteibweise" von oben:
x=(m+a/b)²=m²+2·m·a/b+(a/b)²=m²+(2·m·b+a)·a/b²
Nun sollen a,m und b entsprechend ihrer Vorgaben so gewählt werden, dass x eine natürliche Zahl ist. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten: So könnte Der Zähler des hinteren Terms (also a oder aber 2·m·b+a) Null sein. Dann wäre jedoch x=m² und damit eine Quadratzahl, dieser Fall wurde ja in der Fragestellung damit ausgeschlossen. Damit könnte die rechte Seite der Gleichung (und damit x) nur dann eine natürliche Zahl sein, wenn der Zähler (2·m·b+a)·a ein Vielfaches von b² ist. Da jedoch ausgeschlosen wurde, dass a ein Vielfaches von b ist (und damit auch von b²) müsste 2·m·b+a ein Vielfaches von b² sein. Also müsste die Gleichung
2·m·b+a=k·b² für ein ganzzahliges k ergüllt sein. Damit wäre jedoch:
a=k·b²-2·m·b=b·(k·b-2·m)
Und damit ein Vielfaches von b, was ja ausgeschlossen wurde. Dies heißt: Die Gleichung x=r² kann nur dann für eine rationale Zahl r und ein natürliches x erfüllt sein, wenn r auch eine natürliche Zahl und damit x eine Quadratzahl ist. Die Umkehrung (Wenn r eine natürliche Zahl ist, ist x eine natürliche Zahl) ist offensichtlich. Damit gilt: Die Gleichung x=r² ist genau dann für ein reelles r erfüllt, wenn x eine Quadratzahl ist, in diesem Fall ist r ebenfalls eine natürliche Zahl.
q.e.d
Jede positive reele Zahl r lässt sich als r=m+a/b schreiben wobei b eine natürliche Zahl ist (damit also auch größer Null) und a sowie m eine natürliche Zahl inklusive der Null ist.
Das stimmt so nicht, da diese Darstellung keine Irrationalzahlen erzeugen kann.
Ansonsten ist dein Beweis schön.
MFG
Ups, ich meinte natürlich "Jede positive rationale Zahl", um die sollte es hier ja auch gehen. Sorry, gober Schnitzer von mir (das "rational" und "reel" auch so ähnlich aussehen muss...)
Ja , so ist es!
PS: Es ist übrigens leicht, zu zeigen, dass Wurzeln aus Primzahlen nie rational sind.