vollständige Induktion (2)?
Hey,
Ich habe eine Frage zur vollständigen Induktion. Es ist ja so, dass man sagt, dass wenn eine bestimmte Gleichung durch alle Werte (natürliche Zahlen) erfüllt wird, dann auch für seinen Nachfolger. Das macht auch sehr viel Sinn. Jedoch habe ich auch öfters Ausdrücke wie n-1 gesehen. Theoretisch basiert das ja auf derselben Logik, trotzdem verstehe ich folgendes nicht: Es gibt ja (öfters vorgegeben) einer Art „Startwert“ für den eine spezifische Gleichung erfüllt ist. Müsste man diese Zahl bei der Bezeichnung N nicht ausscheiden, deren Vorgänger ist ja eine Zahl die die Voraussetzungen der Gleichungen nicht erfüllen.
Zudem:
Ich finde ich im Internet immer wieder, dass man sagt, ich finde einen Wert x für den die Gleichung gilt. Dann testen die, ob es für den Nachfolger gilt und schließen dabei, dass es also wirklich für den Nachfolger gilt (nehmen wir 1 und 2 als Beispiel) Und dann sagen die: wenn das also für 2 gilt, dann auch für den Nachfolger und den Nachfolger….
Also ja es ist richtig, aber ist das wirklich die Begründung? Müsste es nicht heißen, wenn es für alle gelten würde, dann auch für den Nachfolger einer beliebigen Zahl.
Also ich finde das irgendwie so schwer zu sagen, okay, dann muss das also auch für den Nachfolger gelten (also 3 etc). Die Voraussetzungen, beziehungsweise die Bedingungen, die man stellt, sind doch die Schlüssel zum Beweis, oder?
Ich meine, wenn man diese Behauptung nicht aufstellt, würde man ja sagen: Es geht für 1, ich teste aus, ob es für 2 geht, ok, wenn es für 2 geht auch für 3 4 und 5.
2 Antworten
man muss nicht mal für 2 austesten
die formel gilt für n = 1
dann testet man , ob die Formel auch für (n+1) gilt
.
der kleine gauß
die summe der Zahlen 1 , 2 , 3 ... n ist n/2 * (n+1)
.
stimmt für n = 3 z.B
3/2 * 4 = 12/2 = 1+2+3 = 6
.
nun testet man ob
n/2 * (n+1) + (n+1) = (n+1)/2 * (n+1+1) ist
und das stimmt
Das habe ich ja in meinem Anfangstext gefragtxd....
Ziemlich langer Text.
Grundlegend geht es bei der VI darum zu zeigen, daß unter der Annahme, daß die Gleichung für ein beliebiges n gilt, sie auch für dessen Nachfolger gilt (und folglich dessen Nachfolger usw.).
Du kannst Dich also immer weiterhangeln. Nur mußt Du das irgendwo verankern, das ist eben jener spezifische Wert von n (z.B. n=1) für den Du die Gültigkeit zeigst.
Ist das geschafft, dann hast Du es für besagtes n und alle seien Nachfolger gezeigt.
und -1 ist nach der selben Logik, mit Außnahme des Startwerts, anwendbar´?