Vollständige Induktion, Peano Axiom?
Hey,
Ich habe eine Frage zum fünften peanoschen Axiom:
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich richtig verstehe, was es aussagt:
Gehört 0 zu einer Teilermenge von X und in dieser Teilmenge n vorhanden ist, wobei auch sein Nachfolger vorhanden ist, dass ist X eine Teilmenge alle natürlichen Zahlen.
Zudem wollte ich fragen, wo man in den 5 Axiomen findet, dass natürliche Zahlen nicht beispielweise 3,4 sind. Liegt es daran, dass ein fester Nachfolger nur dann gefunden werden kann, wenn es sich um keine Kommazahlen handelt?
Dann was zur vollständigen Induktion:
Die vollständige Induktion lässt sich ja so zusammenfassen: Wenn es für alle natürlichen Zahlen gilt, dann auch für Ihre Nachfolger. Ich würde gerne verstehen, inwiefern der Induktionsstart N0 wichtig für den allgemeinen Sinn der vollständiger Induktion: Mit N0 grenzt man ja die Möglichkeiten ein, einen X Wert zu wählen (die Gleichung funktioniert erst ab N0). Inwiefern aber, ist das für den allgemeinen Gedanken (oben) wichtig?
Und wie versteht man genau den Zusammenhang zwischen fünften Axiom und Induktionsschritt: Ich zeige, dass es für die Nachfolger aller natürlichen Zahlen geht, da ich N0 gefunden habe, müsste es also auch für alle natürlichen Zahlen gehen? Ist irgendwie schwer, darüber zu schreiben.
Das fünfte Axiom schließt ja auch aus, die vollständige Induktion für beispielsweise rationale Zahlen zu verwenden, es gibt keinen Startwert und auch keinen Nachfolger. Nur was ich mich frage:
Wenn wir nehmen
x(2) =x mal x
und das soll nun für alle Zahlen gelten, könnte ich nicht sagen;
Wenn das für alle Werte x (rationale Zahlen) gelten würde, dann auch für alle rationalen Zahlen addiert mit einen beliebigen Wert
Wovon unterscheid sich dieser Gedankengang von der vollständigen Induktion?
Ich hoffe, man versteht, was ich erfahren möchte.
Ich danke für jede Antwort.
1 Antwort
Ich gebe dir mal ein Bild vorweg:
Vor dir steht eine Leiter mit unendlich vielen Stufen. Jetzt weißt du folgendes: Wenn ich auf einer Stufe stehe, dann kann ich die nächste Stufe erreichen. Das ist das, was man im Induktionsschluss zeigt.
Aber du stehst vor der Leiter und stellst fest, dass die erste Stufe so weit über dem Boden ist, dass du sie gar nicht erreichen kannst. Das Wissen, dass du von einer Stufe zur nächsten kommen kannst, hilft dir also gar nicht - weil du gar keinen Startpunkt hast.
Jetzt zur Frage der Axiomatik: Die Peano-Axiome beschreiben die natürlichen Zahlen zunächst einmal nur abstrakt. Was du meinst "können die natürlichen Zahlen auch 3,4 sein", ist keine Frage der Axiomatik. Ich kann mir jede beliebige Menge ausdenken, wenn die Axiome erfüllt sind, habe ich eine Menge, die zu der Menge der natürlichen Zahlen, wie man sie "naiv" verwendet, isomorph ist, die also nichts anderes ist.
Was wichtig ist, dass die Geschichte mit den Nachfolgern geklärt ist. Wovon wäre in deiner Vorstellung denn 3,4 der Nachfolger? Von 3? Und ist der Nachfolger von 3,4 wiederum 4? Dann kann 4 nicht der Nachfolger von 3 sein. All das sind nur Symbole. Solche Sachen wie Addition kommt dann erst später, letztlich wird das ja über den Nachfolger definiert. "Deine" Menge hätte dann so schöne Dinge wie
3 + 1 = 3,4
3,4 + 1 = 4.
Das macht nix. Du hast einfach eine neue Zahl dazu genommen, mit der du dann entsprechend rechnen kannst, aber eben anders, also du es sonst gewohnt bist. Beides sind zulässige Konstruktionen.
Ja, das 5. Axiom heißt das Induktionsaxiom, weil es genau das beinhaltet: Habe ich einen Anfangswert (kann ich also die erste Stufe erreichen) und kann ich von jeder folgenden Stufe aus die nächste erreichen, dann erwische ich alle. Kann ich aber die erste Stufe gar nicht erreichen, dann hilft mir das folgende nix.