Zahlenfolge der natürlichen Zahlen?
Hallo, ich soll beweisen, dass für n Element aus N, es kein p Element aus N gibt, sodass: n<p<n+1 gilt.
Peano Axiome wurden noch nicht behandelt, dafür aber Körper- und Anordnungsaxiome. Ich habe vor, dies mit einer vollständigen Induktion zu beweisen. Dafür habe ich grundsätzlich 2 Ideen, ich weiß jedoch nicht, ob diese so sinnvoll sind.
1. N ist eine induktive Menge, das heißt es gilt „A(n) –> A(n+1)“. Ich habe für A(n)=(n−1)+1 geschrieben, aber darf man das so voraussetzen? Und dann müsste der Beweis für n+1gelten, da p jedoch <n+1 ist, gilt der Beweis nicht für p.
oder
2. Ich führe die vollständige Induktion mit der gaußschen Summenformel durch, setze anstatt für n+1 p ein. Dann sieht man, dass diese Formel dann nur stimmt wenn p=n+1 gilt. Da p<n+1 ist und aufgrund von Trichotomie kann nur eine Relation gelten.
Ich würde mich über euren Rat freuen.
1 Antwort
A(n) sind von n abhängige Aussagen aber (n-1)+1 ist keine Aussage sondern nur ein Term
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Beim Beweis kommt es halt darauf an was man voraussetzt
Wenn man z.B Anordnung voraussetzt und dass jede natürliche Zahl nur genau einen Nachfolger hat und n+1 der Nachfolger von jedem beliebigen n ist, dann kann p keine natürliche Zahl sein, da p, indem es größer als n und nicht größer als n + 1 und ungleich n + 1 ist, ein zweiter Nachfolger wäre, was der Voraussetzung widerspricht
danke für deine Antwort. darf man das einfach so voraussetzen, ich finde nämlich (noch) keinen Satz, der das voraussetzt.
In den Peano Axiomen ist das präzisiert auch dass eins der Nachfolger der Null ist.
Bei einem Beweis muss man ja Voraussetzungen machen und in der Regel schreibt man auch nicht alle Voraussetzungen auf da ihr die Peano Axiome noch nicht durchgenommen habt sollt ihr vielleicht einfach evidente Voraussetzungen annehmen Axiome beweist man ja auch nicht sondern setzt sie als evident voraus
Oder:
Voraussetzung unter anderem: n + 1 ist Nachfolger für jede beliebige natürliche Zahl n
Daraus folgt dass n + 1 die kleinste natürliche Zahl größer als n ist
Daher sind alle zahlen größer als n und kleiner als n + 1 keine natürlichen Zahlen
Daher ist p keine natürliche Zahl