Rekursive Formel vollständigeInduktion?
Hallo,
ich mache zurzeit viele Übungsaufgaben zur vollständigen Induktion und habe einer Frage zu einer Aufgabe zu einer Rekursionsformel. Ich bin noch nie wirklich einer Rekursionsformel in diesem Sinne begegnet und wollte demnach fragen, inwiefern ich den Sachverhalt richtig verstehe (kann deswegen sein, dass ich dumme Fragen stellen werde xd).
Die Aufgabe ist folgende:
Verstehe ich hier richtig, dass a (n) immer eine Zahl darstellen sollen und diese Zahl kann man mit der zweiten gegeben Formel berechnen?
Und für n=1 ist der Startwert a=2 gegeben?
Da frage ich mich erstmal, was man hier eigentlich beweist? Beweist man hier, dass das nte folgeglied der ersten Formel sich so darstellen lässt ? (könnte man dann nicht vereinfacht auch einfach fragen, ob sich die Zahl a durch die jeweilige Gleichung darstellen lässt?)
In den Lösungen habe ich gesehen, dass man für n=1 einsetzen muss, gehört aber nicht 0 auch zu den natürlichen Zahlen?
Ich bin noch nicht so vertraut mit rekursiven Formeln und wäre über eine ausführliche Erklärung sehr dankbar.
1 Antwort
Jede Zahl entsteht aus der vorhergehenden, indem man "mal 3 plus 1" rechnet. Die erste Zahl ist 2.
Also a1=2, a2=7, a3=22, a4=67, a5=67*3+1, ....
Du sollst per vollst. Induktion zeigen, dass man nicht alle Einzelglieder ausrechnen muss um z.B. a11 zu berechnen, weil angeblich (das sollst du beweisen) gilt:
a11 = 2,5*3^10 - 0,5 = 147622
Aber ich verstehe nicht, wieso man nicht 0 einsetzt (sondern 1) für den Start?
Falls Du den tiefgestellten Index der Folgenglieder meinen solltest: Wenn Du lustig bist, dann machst Du einen Indexübergang: k = n-1 und ak =an-1 → ak=0 = a0 = 2. Mit einfachen Worten: Bei Folgen ist mehr oder weniger egal, ob man n ∈ ℕ oder n ∈ ℕ0 definiert.
“Sehr schöne Erklärung, danke dir! Ich verstehe also richtig, theoretisch müsste man jede neu rausgerechnete Zahl in die Formel reinsetzen. Die zweite Formel soll aber nun zeigen, dass man das xy Folgeglied direkt berechnen kann“
ja genau. Es gibt einige solcher Formeln, um Dinge „schnell berechnen zu können“ vielleicht sagt dir die Gaußsche summenformel etwas, die sich der Liebe Gauß irgendwann mal ausgedacht hat um die Summe aller Zahlen von 1 bis 100 (1+2+3+….+100) schnell auszurechnen. Das würde sonst ja ewig dauern wenn das wissen willst, weil du sonst 100 zahlen in deinen Taschenrechner eintippen müsstest.
und zum anderen: ich schätze es geht mit 1 los, weil die 0 keine natürliche Zahl ist und hier null nicht expizit eingeschlossen wird.
Danke für deine Antwort. Also die Bezeichnung a(0) habe ich sowieso gewählt. Nur ist es ja so, dass wenn man in die zweite gegebene Formel 0 anstatt 1 einsetzt, nicht 2 rauskommt. Oder übersehe ich etwas?
Wenn Du einen Indexübergang machst, dann muss Du natürlich auch die Formel entsprechend anpassend.
Ich wollte aber mit meinem Kommentar auch nicht sagen, dass Du das machen sollst, sondern Dein "ich verstehe nicht" adressieren. Das sollte nur beruhigend heißen: "Es ist unwichtig, mit welchem Element man beginnt. Du machst Dir unnötige Gedanken"
Ok, aber würde das für 0 gehen? Oder ist einfach die Aufgabe so, dass es für alle natürlichen Zahlen ab n=1 gilt?
Keine Ahnung, warum du da so beharrlich drauf herumreitest. Die Folge fängt laut Aufgabenstellung mit a1=2 an. Punkt.
Die Behauptung gilt offenbar für n=1 denn 2,5 *3^0 - 0,5 = 2
Jetzt musst du zeigen, dass man von n auf n+1 schließen kann. Fertig.
Sehr schöne Erklärung, danke dir! Ich verstehe also richtig, theoretisch müsste man jede neu rausgerechnete Zahl in die Formel reinsetzen. Die zweite Formel soll aber nun zeigen, dass man das xy Folgeglied direkt berechnen kann?
Und die erste Zahl soll 2 sein. Aber ich verstehe nicht, wieso man nicht 0 einsetzt (sondern 1) für den Start?