vollständige Induktion, Grenzen?
Hallo,
ich wollte fragen, wann di vollständige Induktion ihre Grenzen erreicht, bzw ungebrauchbar wird.
Ich lese, dass diese ja nur für natürliche Zahlen funktioniert, aber da hätte ich folgende Frage:
Sagen wir Mal, eine Gleichung gehe erst ab -2 (bspw Gaußsche Formel)
Könnte ich dann nicht genauso folgendes machen:
n=-2 einstzen = wahr
Bedingungen
gilt die Gleichung für n größer gleich n=-2
dann auch für ein beliebiges n (größer als -2) addiert mit 3
Oder würde das hier schon im Sinne der natürlichen Zahlen sein, da ich einen Startwert definiere?
3 Antworten
Ich lese, dass diese ja nur für natürliche Zahlen funktioniert, aber da hätte ich folgende Frage:
Das ist so nicht ganz richtig. Tatsächlich ist die "vollständige Induktion" nur für abzählbare Probleme, also Probleme die die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen nicht überschreiten, geeignet. Tatsächlich entspringt die vollständige Induktion dem sogenannten Induktionsaxiom der natürlichen Zahlen. Das von dir genannte Beispiel ist eine Induktion über einen Teilbereich der Menge Z, und Z ist gleichmächtig zu N. Mit einer geeigneten Indexverschiebung kannst du diesen Fall immer auf N zurück führen.
Es gibt aber eine Erweiterung der vollständigen Induktion, nämlich die transfinite Induktion. Diese kann auf jeder wohlgeordneten Menge durch geführt werden.
Auf reelle Zahlen ist die vollständige Induktion nicht anwendbar. Was dein Einwurf mit den bijektiven Abbildungen soll weißt nur du. Auf reelle Zahlen ist die transfinite Induktion nicht trivial anwendbar. Warum findest du heraus wenn du die verwendeten Begriffe verstanden hast. Aus deinen bisherigen Fragen lese ich dass dir einiges an Grundlagen dafür fehlt.
Die vollständige Induktion basiert auf zwei Beweisen:
- Beweis für ein Startelement, quasi für einen Ankerpunkt
- Beweis, dass wenn es für ein Element einer abzählbaren Menge gilt, dass es dann auch für den Nachfolger der Menge gilt (ginge auch für Vorgänger) - Beweis einer Implikation.
Der Effekt ist dann, dass es für das Startelement gilt, für dessen Nachfolger, für den Nachfolger des Nachfolgers, also vom Startelement aufwärts. Das ist der ganze Trick. Der Beweis der Nachfolgeimplikation macht den Beweis über das Startelemet transitiv über die gesamte (Teil-)Menge.
Es funktioniert nur für aufzählbare Mengen. Die ganzen Zahlen >=-2 sind aufzählbar.
Du redest hier dann von einer bijektiven Abbildung?
Aber auf reelle Zahlen wäre das dann nicht möglich?
Und wieso nicht? Also, könnte ich es nicht wieder für einen N0 beweisen und dann den Beweis für N0 vorwärts beweisen?